Matemática elementar/Conjuntos

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

A=\{v,x,y,z\}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S=\{A,B,C,D\}

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P=\{6,28,496\}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

Z_{100}=\{0,1,2,...,99\}

N=\{0,1,2,3,4,5,...\}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T=\{\{1,6\},\{5,8\}\}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A=\{x|P(x)\}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

A=\{x\in \mathbb {R} |x^{2}-6x=-8\}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, $A=\{2,4\}$ .

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por $\{\}$ , $\emptyset$ , $\varnothing$ ou $\phi$ .^[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A\subset B$ . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, ${\mathcal {P}}(A)$ , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar ${\mathcal {P}}(A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então

{\mathcal {P}}(A)

= { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto

{\mathcal {P}}(A)

terá 2ⁿ elementos. Ou seja:

\#{\mathcal {P}}(A)=2^{\#A}

.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = $\varnothing$ → P(A) = { $\varnothing$ } → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = { $\varnothing$ ,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = { $\varnothing$ ,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = { $\varnothing$ ,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por $\varnothing$ somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por $\varnothing$ ).

n(P(A)) = ${n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+...+{n \choose n}+1=\sum _{k=1}^{n}{n! \over (n-k)!k!}+1$

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

$C_{n}^{0}\,\!+C_{n}^{1}\,\!+C_{n}^{2}\,\!+C_{n}^{3}\,\!+...+C_{n}^{n}\,\!=\sum _{k=0}^{n}{n! \over (n-k)!k!}=2^{n}$

→ n(P(A)) = $2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1$

Mas, $C_{n}^{0}\,\!={n! \over (n-0)!0!}={n! \over n!}=1$

→ n(P(A)) $=2^{n}-C_{n}^{0}\,\!+1=2^{n}-1+1=2^{n}$

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que $|A|<|P(A)|$ .

Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto $A$ formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto $V$ formado pelas vogais, podemos dizer que $A\supset V$ (A contém V) ou $V\subset A$ (V está contido em A)

Relação de pertinência

Se $\,\!a$ é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\in A$ . Se $a$ não é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a\not \in A$ .

Exemplos:

$-16\in \mathbb {Z}$
$c\in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

$c\ \not \in \ \{a,e,i,o,u\}$
${\frac {4}{9}}\ \not \in \ \mathbb {Z}$

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$ , então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$ , denotado por $A\subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A=B$ ). Se $A\subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$ , então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$ , denotado por $A\subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é $A=B$ . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo $\neq$ .

Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos

UniãoUnião de A e B (em azul mais escuro)A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|União

UniãoUnião de A e B (em azul mais escuro)A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

A\cup B=\{x\in U|x\in A\lor x\in B\}

Por exemplo:

A=\{a,e,i\}

B=\{o,u\}

A\cup B=\{a,e,i,o,u\}

A=\{2,3,4,5\}

B=\{1,3,5\}

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

A união de um conjunto $A$ , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto $A$ , $A\cup \{\}=A$ .

Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C=(A\cup C)\cup B$ .

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos $A$ e $B$ , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos $A$ e $B$ , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a $A$ quanto a $B$ . Matematicamente:

A\cap B=\{x\in U|x\in A\land x\in B\}

Por exemplo:

A=\{1,2,3\}

B=\{3,4,5\}

A\cap B=\{3\}

C=\{a,e,i,o,u,y\}

D=\{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}

C\cap D=\{\}

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

A-B=\{x\in U|x\in A\land x\not \in B\}

B-A=\{x\in U|x\in B\land x\not \in A\}

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z_- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

N = {1,2,3,4,5,...}

\mathbb {Z} -\mathbb {N} =\mathbb {Z} _{-}=\{...,-2,-1,0\}

A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, $A-\{\}=A$ .

Complementar

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $\complement$ . Matematicamente:

\complement B_{A}=\{x\in A|x\not \in B\}

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }

D = { {10,12} }

\complement D_{A}=\{3,4,9,\{25,27\}\}

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.

Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph _{0}$ (aleph zero), $\aleph _{1},\aleph _{2}...$ .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$ ou por $\#A$ . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então $|A|=|B|$ .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios

Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

(a,b)\neq (b,a)

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}

(b,a)=\{\{b\},\{b,a\}\}

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é $\times$ . Matematicamente:

A\times B=\{(x,y)|x\in A\land y\in B\}

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

A+B=A\times \{0\}\cup B\times \{1\}

.

O produto cartesiano é não-comutativo: $A\times B\neq B\times A$ .
Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Notas

↑ Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

Ver também

Wikilivros

Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia

Ligações externas

[1] Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

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