Matemática financeira/Juros compostos

O Juro Composto ou Capitalização Composta é um regime de capitalização especial, onde, ao final de cada período de capitalização, o juro do período é somado ao capital para formar o capital do próximo período. É a modalidade de capitalização mais difundida em financiamentos, empréstimos, títulos de capitalização.

Montante

Seja um capital $C\,\!$, aplicado a uma taxa $i\,\!$ por $n\,\!$ períodos.

Ao final do primeiro período, teremos como montante o valor $C\,\!$, acrescido o juro, que é calculado como $C\times i$:

$M=C+C\times i\,\!$

Ou, de forma compacta

$M=C(1+i)\,\!$

No final do segundo período de capitalização, o valor do montante é o montante do período anterior, acrescentado dos juros:

$M=C(1+i)+C(1+i)\times i\,\!$

Desta vez, o fator comum que podemos isolar é $C(1+i)\,\!$:

$M=C(1+i)(1+i)\,\!$

Ou, de forma compacta,

$M=C(1+i)^{2}\,\!$

Para $n\,\!$ períodos, a equação do Montante torna-se:

$M=C(1+i)^{n}\,\!$

Compare=se esta equação com a equação do montante do juro simples:

$M=C(1+in)\,\!$

Fator de Capitalização

A expressão $(1+i)^{n}\,\!$ é chamada de fator de capitalização, e antes do advento de calculadoras com a capacidade de calcular $y^{x}$, costumava ocupar páginas e mais páginas no final dos livros de Matemática Financeira.

Juro

Sabemos que, não importa qual a modalidade de capitalização adotada, a equação que relaciona montante, capital e juro é sempre a mesma:

$M=C+J\,\!$

Isolando o juro:

$J=M-C\,\!$

Substituindo o montante pela sua equação:

$J=C(1+i)^{n}-C\,\!$

ou

$J=C((1+i)^{n}-1)\,\!$

Seria esta a equação a utilizar para calcular o Juro, porém como a parte mais difícil corresponde à computação de $(1+i)^{n}$, o usual é calcular o montante, e subtrair dele o capital para obter o juro.

Taxas Equivalentes

Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital C, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.

Por exemplo: Uma taxa de 12% ao ano é equivalente a uma taxa de 0,95% ao mês. Já uma taxa mensal de 1% é equivalente a 12,68% ao ano.

Taxa nominal e taxa real

Uma taxa que é dada em período de tempo diferente do qual é capitalizada é chamada de taxa nominal. O caso mais comum de aparecimento destas taxas é a expressão da taxa anual, mas cuja capitalização é mensal.

Neste caso para se chegar a taxa real de juros é preciso dividir a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização que compreendem se igualam ao período expresso na taxa nominal e elevá-lo a estes n períodos.

Por exemplo: Uma taxa de 12% ao ano capitalizados mensalmente, corresponde a uma taxa de 1% ao mês que é equivalente a 12,68% ao ano. Se a mesma taxa nominal de 12% ao ano fosse capitalizada semestralmente teriamos uma taxa real de 6% ao semestre, o equivalente a 12,36% ao ano.

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