Matemática divertida/Triângulo de Pascal/Resposta

Solução do Triângulo de Pascal

$1\!\;$

$1\quad 1\!\;$

$1\quad 2\quad 1\!\;$

$1\quad 3\quad 3\quad 1\!\;$

$1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\!\;$

$1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\!\;$

$1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\!\;$

$1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\!\;$

$1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\!\;$

$1\quad {\color {Blue}9}\quad 36\quad 84\quad {\color {Blue}126}\,\,\quad {\color {Blue}126}\quad 84\quad 36\quad {\color {Blue}9}\quad 1$

$1\quad 10\quad {\color {Blue}45}\quad 120\quad {\color {Blue}210}\quad 252\quad {\color {Blue}210}\quad 120\quad {\color {Blue}45}\quad 10\quad 1$

$1\quad {\color {Blue}11}\quad 55\quad {\color {Blue}165}\quad 330\quad {\color {Blue}462}\quad {\color {Blue}462}\quad 330\quad {\color {Blue}165}\quad 55\quad {\color {Blue}11}\quad 1$

Exercício 2

Para as primeiras 8 linhas do triângulo de pascal, os números pares são aqueles destacados em vermelho:

                        1                      
                     1     1                   
                  1     2    1                 
               1     3     3    1              
            1     4     6     4    1           
         1     5     10    10    5    1        
      1     6     15    20    15    6    1     
   1     7     21    35    35    21    7    1  
1     8     28    56    70    56    28    8    1                       

Se você lembrar que um número é par quando seu último dígito é 0, 2, 4, 6 ou 8, perceberá que é desnecessário ficar escrevendo todos os dígitos de cada número para depois indicar aqueles que são pares. Então, para que fique mais simples de perceber o padrão, os números do triangulo de Pascal são representados a seguir somente por seu último dígito:

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 0 0 5 1
  1 6 5 0 5 6 1
 1 7 1 5 5 1 7 1
1 8 8 6 0 6 8 8 1

Mas é possível deixar as coisas ainda mais simples utilizando a relação de Stifel, que permite obter cada elemento como a soma de outros dois, que estejam na linha logo acima. Como essa relação envolve a soma, basta saber quando é que a soma de dois números é par, e quando é ímpar. Se você refletir um pouco, perceberá que:

• A soma de um número par com um número par, é par;
• A soma de um número ímpar com um número ímpar, é par;
• A soma de um número par com um número ímpar, é ímpar;
• A soma de um número ímpar com um número par, é ímpar;

Vamos então reconstruir o triângulo usando o número 1 para representar os ímpares e o número 0 para representar os pares, e lembrando que:

• 0 + 0 = 0 (par + par = par)
• 1 + 1 = 2 (ímpar + ímpar = par)
• 0 + 1 = 1 (par + ímpar = ímpar)
• 1 + 0 = 1 (ímpar + par = ímpar)

O triângulo fica assim:

               1
              1 1
             1 0 1
            1 1 1 1
           1 0 0 0 1
          1 1 0 0 1 1
         1 0 1 0 1 0 1
        1 1 1 1 1 1 1 1
       1 0 0 0 0 0 0 0 1
      1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
     1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
    1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
   1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
  1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1