Matemática divertida/Mini-sudoku

De onde veio o sudoku?

O primeiro jogo deste tipo surgiu em uma revista americana em 1979 e, segundo uma pesquisa, foi criado pelo arquiteto aposentado Howard Garns. O passatempo foi publicado com o nome Number Place (lugar dos números), porém apareceu em uma revista japonesa com o nome Sudoku.

Como jogar

Um sudoku é formado por um quadrado bidimensional, dividido em 16 casas na versão 4x4, 36 casas na versão 6x6 e 81 casas na sua versão mais comum, a 9x9. Estas casas ficam agrupadas em quadrados menores, e a quantidade destes quadrados varia de acordo com a versão do jogo. A versão 4x4 contém 4 agrupamentos de 4 quadrados cada, a versão 6x6 contém 6 agrupamentos com 6 quadrados cada e a versão 9x9 contém 9 agrupamentos de 9 quadrados cada.

O objetivo do jogo é completar os quadrados com algarismos, de maneira que não haja repetições de números nas linhas e colunas, nem em cada agrupamento de quadrados. Vamos agora ver passo-a-passo como resolver cada versão do sudoku.

O sudoku 4x4

No sudoku 4x4 é preciso preencher os quadrados com números de 1 a 4, e eles não podem se repetir na mesma linha, coluna ou agrupamento de quadrados. Vamos resolver como exemplo este sudoku 4x4:

Observe o número 4, que está presente em dois agrupamentos de quadrados. Sabemos que o 4 não pode se repetir na linha, coluna ou agrupamento em que ele está inserido. Vamos observar agora o agrupamento de quadrados do canto inferior esquerdo. Ele ainda não contém um 4, então vamos deduzir, a partir dos outros, aonde ele deve estar. Uma vez que o 4 não pode se repetir na linha e na coluna marcadas pelos traços vermelhos, nós o colocamos no único lugar que ele poderia se encontrar no agrupamento inferior esquerdo.

Vamos agora fazer o mesmo para colocar um 4 no único agrupamento que ainda está sem ele, o superior direito. Na figura, estão indicados em vermelho a linha e coluna em que o 4 não pode ser colocado, pois já há um 4 em cada uma delas. A partir disto, podemos perceber o único lugar em que ele poderia estar.

Agora, todos os 4 agrupamentos já possuem o número 4. Vamos observar o número 3. No agrupamento superior direito, podemos perceber que o 3 possui um único lugar possível de ser colocado, uma vez que, como mostrado na figura abaixo, não pode estar na linha indicada em vermelho.

Continuando com as nossas deduções, vamos observar o agrupamento inferior direito, que ainda não contém um 3. A partir do último 3 que acabamos de colocar no outro agrupamento, podemos deduzir aonde deve ficar o deste. Você consegue perceber?

Voltemos as atenções para o único agrupamento que ainda não contém o 3, o inferior esquerdo. Já podemos deduzir aonde o 3 deve ficar nele, e a coluna e linha em que ele não deve estar estão indicadas em vermelho na figura. Também já podemos ver que, no agrupamento superior direito, só há um quadrado vazio. Como já possui o 1, o 3 e o 4, pode-se ver que o único número que falta é o 2, como indicado na figura.

Pronto! Todos os agrupamentos já possuem os números 3 e 4, e agora nosso processo de dedução fica um pouco mais fácil. No agrupamento superior esquerdo falta um 1, e você já deve ter percebido aonde ele deve ter que ficar.

A partir do 1 que acabamos de colocar, podemos descobrir aonde deve estar o 1 no agrupamento inferior esquerdo. A linha vermelha da figura indica a coluna que já contém um 1 e que, portanto, não deve receber um outro.

Da mesma forma, podemos deduzir aonde deve estar o último número 1 que nos resta colocar neste sudoku. No agrupamento inferior direito, não devemos colocar um 1 na mesma linha do 1 que colocamos no passo anterior, não é mesmo? Portanto, só nos resta uma única opção de lugar para colocar este 1.

Temos agora todos os agrupamentos do sudoku com os números 1, 3 e 4 em seus devidos lugares. Agora fica fácil perceber qual o número que falta colocar pro sudoku ficar completo! Os lugares em que ele deve ser colocado também estão bem fáceis de encontrar.

Exercícios

Tente você mesmo resolver estes sudokus 4x4! As soluções você encontra nesta página.

1. 2. 3.

O sudoku 6x6

No sudoku 6x6 é preciso preencher os quadrados com números de 1 a 6, também tomando cuidado para não repetir os números em cada linha, coluna ou agrupamento de quadrados. Vamos resolver agora um passo-a-passo:

Vamos começar pelo número 3. Você pode ver que somente os agrupamentos superior esquerdo e inferior direito ainda não o possuem. Você também sabe que não podemos repetir os números nas mesmas linhas e colunas. Vamos observar o agrupamento inferior direito. Na figura, estão indicados em vermelho as colunas e a linha que não pode conter o 3, então só existe um único lugar para colocarmos ele.

Agora observe o agrupamento superior esquerdo, que também precisa de um 3. Da mesma forma, podemos ver que só há um único lugar para ele estar, então vamos colocá-lo lá.

Agora que todos os agrupamentos já contêm o número 3, repare no número 2. Veja que já podemos saber aonde ele deve ficar no agrupamento inferior esquerdo, pois só há uma possibilidade.

Ainda não podemos saber com certeza aonde o 2 deve ficar no agrupamento ao lado, o inferior direito, mas já podemos ver aonde o 2 deve ficar no agrupamento do meio à direita:

Depois de encaixarmos o 2 em seu lugar certo neste agrupamento, já podemos saber aonde deve ficar o do inferior direito. A figura mostra a coluna e linha em que o 2 com certeza não deve estar.

Todos os agrupamentos já contêm o 2! Vamos continuar deduzindo. Observe agora o número 4 e o agrupamento superior direito. Você consegue perceber aonde devemos com certeza colocar o 4 neste agrupamento?

Perceba agora que já podemos colocar o 4 no agrupamento inferior esquerdo:

No agrupamento de quadrados do meio á esquerda, já se pode perceber aonde devemos colocar um 4. As linhas vermelhas indicam a coluna e linha onde ele não dele ser colocado:

Agora que todos os agrupamentos já contêm o 4, procuremos um número que já podemos descobrir seu lugar. Vamos tomar o 5. Perceba que, no agrupamento inferior direito, ele já pode ser colocado com certeza:

A partir do 5 que colocamos naquele agrupamento, podemos ver que há mais um lugar aonde ele já pode ser colocado com certeza:

Da mesma forma, a partir do 5 que acabamos de colocar, vemos que há um lugar certo para ele no agrupamento superior direito:

Novamente, no agrupamento superior esquerdo:

Para o último agrupamento que ainda precisa de 5, o do meio à esquerda, vamos precisar de informações de dois 5 que estão em agrupamentos próximos. A linha vermelha indica a linha e coluna em que o 5 não deve estar, sobrando-nos apenas um lugar para ele.

Agora que todos os agrupamentos de quadrados já contêm o número 5, vamos observar o número 6. Está bem mais fácil perceber aonde ele deve ficar no agrupamento do meio à esquerda.

A partir deste 6 que acabamos de colocar, já podemos ver o lugar do 6 no agrupamento superior à esquerda! Você conseguiu ver?

Percebeu que agora só nos resta colocar um número de 1 a 6 que ainda falta em cada agrupamento? Como cada um só precisa de um número, e os números só podem ser de 1 a 6, fica fácil ver aquele que resta colocar em cada agrupamento. E então está pronto!

Exercícios

Agora tente você mesmo resolver estes sudokus 6x6! As respostas você encontra nesta página.

1. 2. 3.

Sobre o sudoku 9x9

Quando você tiver prática, poderá se aventurar no sudoku 9x9. No entanto, para resolvê-lo você precisará de outros raciocínios além daqueles que foram abordados neste capítulo. Descobrir por si mesmo quais são as melhores estratégias no jogo faz parte da diversão!

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