Logística/Técnicas de previsão/Regressão múltipla

Sousa (2009, p. 20) define regressão linear múltipla como uma relação entre uma variável aleatória dependente, $y\,\!$, e $k\,\!$ variáveis independentes, $x_{1}\,\!$, $x_{2}\,\!$, …, $x_{k}\,\!$, com a seguinte expressão:

$y=\beta _{0}+x_{1}\beta _{1}+x_{2}\beta _{2}+x_{3}\beta _{3}+\dots +x_{k}\beta _{k}+e\,\!$

Onde, tal como no caso da regressão simples, se utiliza o método dos mínimos quadrados para determinar os parâmetros $\beta _{i}\,\!$

De acordo com Henriques (2009, p. 22), a expressão acima pode ser re-escrita na forma matricial como:

${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\\dots \\y_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{11}&x_{21}&\dots &x_{k1}\\1&x_{12}&x_{22}&\dots &x_{k2}\\1&x_{13}&x_{23}&\dots &x_{k3}\\1&x_{14}&x_{24}&\dots &x_{k4}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\1&x_{1n}&x_{2n}&\dots &x_{kn}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\\\dots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\dots \\\varepsilon _{n}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow Y=X\beta +\varepsilon \,\!$

Onde:

$Y\,\!$:	matriz das observações da variável dependente;
$X\,\!$:	matriz das observações da variável independente, ou matriz significativa do modelo;
$\beta \,\!$:	vector dos parâmetros de regressão a serem estimados;
$\varepsilon \,\!$:	vector do erro que resulta do facto de $y\,\!$ ter características aleatórias.

Admite-se que $\varepsilon _{1}\,\!$, $\varepsilon _{2}\,\!$, ...,$\varepsilon _{k}\,\!$ são variáveis aleatórias independentes de média 0 e desvio padrão $\sigma ^{2}\,$.

Da mesma forma que na regressão simples se utiliza o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros da regra de regressão, o mesmo acontece na regressão múltipla, da qual se obtém que o vector dos parâmetros da regressão é dado por:

${\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\\\beta _{3}\\\dots \\\beta _{k}\end{bmatrix}}=\beta =(X^{T}X)^{-1}X^{T}\times Y$

Caso ocorra $k=1\,\!$, está-se perante um problema de regressão linear simples, que também pode ser resolvido desta forma.

Um exemplo de regressão múltipla, dado por Henriques (2009, p. 18), é a relação entre o volume de vendas efectuadas num período de tempo por um vendedor, os seus anos de experiência, e a sua pontuação num teste de inteligência.