Logística/Gestão de armazéns/Configuração de áreas de armazenagem contínuas/Um produto/Armazém com uma porta

Figura 1: Planta de um armazém

Figura 2: Curvas de nível de um armazém existente

A configuração de um armazém pode ser representada como uma região contínua. Assim sendo, é necessário estudar as configurações contínuas de um armazém. O projecto de configuração é, em muitos casos, destinado a um armazém já existente. Para estudar a configuração contínua de um armazém considera-se um armazém com as dimensões de $\ 200ft*150ft$ com uma única porta, como se mostra na figura 1. Utilizando armazenagem aleatória, o espaço necessário num armazém é de $\ 18\ 000ft^{2}$ ou de $\ 27\ 500ft^{2}$. Assume-se que a probabilidade de movimentação do material entre a porta e qualquer ponto do armazém é a mesma e que as deslocações são rectilíneas (Francis et al., 1992, p. 296-299).

A partir das curvas de nível ($\ k$) representadas dentro de um armazém existente é possível verificar três diferentes áreas ($\ A$) como se pode ver na figura 2:

• A área representada a amarelo aplica-se a armazéns que não excedam $\ 10\ 000ft^{2}$;
• A área representada a laranja aplica-se a armazéns entre os $\ 10\ 000ft^{2}$ e $\ 20\ 000ft^{2}$;
• A área representada a vermelho aplica-se a armazéns entre os $\ 20\ 000ft^{2}$ e $\ 30\ 000ft^{2}$.

A área de armazenagem ($\ A$) pode ser expressa em função das curvas de nível ($\ k$), através da seguinte função:

$\ A=$

1) $\ k^{2}$, $\ 0\leq k\leq 100$

2) $\ 200k-10\ 000$, $\ 10\leq k\leq 150$

3) $\ 30\ 000-(250-k)^{2}$, $\ 150\leq k\leq 250$

Como se verifica a área a amarelo, cuja curva de nível tem forma triangular, tem base $\ 2k$, altura $\ k$ e área $\ k^{2}$. Os valores de $\ k$ variam entre os $\ 0$ e $\ 100ft$ e a área entre $\ 0$ a $\ 10\ 000ft^{2}$.

Na área a laranja, o ponto onde a linha intersecta a parede superior do armazém, a distância da curva de nível ao ponto de entrada/saída é a soma de $\ 100ft$ percorridos paralelamente ao eixo dos y's e $\ (k-100)ft$ percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A curva de nível varia entre os $\ 100$ e $\ 150ft$ e a área de armazenagem varia de $\ 10\ 000$ a $\ 20\ 000ft^{2}$. A forma geométrica da curva de nível pode ser representada pela união de um rectângulo de dimensões $\ 200ft*(k-100)ft$ com um triângulo de $\ 200ft*100ft$. Assim, a área limitada pelas curvas de nível é $\ 200k-30\ 000$.

Na área a vermelho, a área limitada pela curva de nível pode ser obtida subtraindo a área exterior à curva de nível por a área total do armazém. Cada canto do armazém fora da curva de nível tem uma forma triangular de dimensões $\ (250-k)*(250-k)$ assim, a área é igual à área do armazém ($\ 30\ 000$) menos a soma das áreas dos dois cantos $\ ((250-k)^{2})$. Os valores de $\ k$ variam entre $\ 150$ a $\ 250ft$ e a área entre $\ 20\ 000$ a $\ 30\ 000ft^{2}$.

Figura 3: Área de armazenagem de 18 000 $ft^{2}$

Resolvendo a função da área de armazenagem ($\ A=200k-30\ 000$) em ordem a $\ k$, ao substituir $\ A$ por 18\ 000 fica $\ k$ igual a $\ 140ft$ como se verifica na figura 3.

Figura 4: Área de armazenagem de 27 500 $ft^{2}$

Resolvendo agora a função da área de armazenagem ($\ A=30\ 000-(250-k^{2})$) em ordem a $\ k$, ao substituir $\ A$ por $\ 27\ 500$ fica $\ k$ igual a $\ 200ft$ como se verifica na figura 4.

Figura 5: Configuração de armazenagem contínua

Considerando locais de armazenagem discreta, a distância média percorrida na zona de armazenagem pode ser determinada somando as distâncias médias de cada produto. A distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas de e para todos os locais de armazenagem atribuídos a um produto, dividindo a soma pelo número de locais destinados a esse produto e multiplicando o resultado pelo número médio de movimentações efectuadas por período de tempo. No caso da armazenagem contínua, a distância média pode ser obtida integrando a região de armazenagem e multiplicando o resultado pela razão entre o número de movimentações e o espaço destinado ao produto, ou então, estabelecendo uma relação entre a área da linha de curva. Considerando que existe uma única porta, que a região de armazenagem está no primeiro e quarto quadrantes e que as movimentações são rectilíneas, é possível verificar através da figura 5 a configuração de armazenagem contínua (Francis et al., 1992, p. 303-304). Considerando uma curva de nível arbitrária $\ k$, a área envolvida é igual a $\ k^{2}$. Logo,

$\ A=k^{2}=q(k)$

$\ k=A^{1/2}=r(A)$

onde $\ q(k)$ é a relação entre $\ A$ e $\ k$ e $\ r(A)$ é a função inversa que relaciona $\ k$ com $\ A$. Assim a função inversa de $\ r(t)$ é dada por:

$\ A=q(r(t))$

Sendo $\ q(k)=k^{2}$ então,

$\ A=r(A)^{2}\Leftrightarrow r(A)=A^{1/2}$

Geralmente, à medida que uma curva de nível varia do valor mínimo ao máximo, a área envolvida varia do valor mínimo ao valor $\ A$. Neste caso, o valor mínimo da curva de nível pode ser obtido a partir da equação anterior, fazendo A igual a zero; o valor máximo pode ser obtido igualando a mesma equação à área de armazenagem a envolver. A área da figura 5 é $\ 152\ 000ft^{2}$, ao aplicar a equação $\ k=A^{1/2}=r(A)$, verifica-se que o valor mínimo de $\ k$ é igual a zero e o valor máximo é $\ 389,8718ft$. A distância média percorrida é calculada pela seguinte expressão:

$\ E\left[R\right]$ = $\int _{R}{T \over A}f(x)\,dx$ = ${T \over A}$ $\ \int _{r(0)}^{r(A)}q'(k)\,dk$

Onde $\ E[R]$ é a distância média percorrida na região de armazenagem $\ R$, $\ T$ é o número de movimentações, $\ f(X)$ é a distância média por viagem.

Sendo que a função distribuição para a distância percorrida é dada por $\ q(k)/A$, então a função densidade é dada por $\ q'(k)/A$ para $\ r(0)\leq k\leq r(A)$. Considerando a equação anterior no cálculo da distância média percorrida, aplicada ao exemplo da figura 5 tem-se:

$\ E\left[R\right]$ = $\ {T \over A}\int _{0}^{A^{1/2}}(2k)k\,dk$ = $\ {2T \over 3}A^{1/2}$

Logo, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de $\ 152\ 000ft^{2}$, $\ E[R]=259,9145ft/min$.