Lógica/Princípio da Explosão, Lei de Dun Scot, Prefixação e as propriedades antiintuitivas da implicação

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Princípio da Explosão[editar | editar código-fonte]

Ex contradictione (sequitur) quodlibet
Existe uma tautologia bastante "estranha" - ou melhor, expressa uma perplexidade lógica - conhecida como princípio da explosão:



α β ¬α α∧¬α (α∧¬α)→β
V V F F V
V F F F V
F V V F V
F F V F V


Isto pode nos deixar mais perplexos se vermos que é válido o seguinte argumento:
ou


Veja que eles são válidos:



Existem duas coisas muito estranhas neste argumento:
1º) A presença de uma contradição ou fórmulas contraditórias entre si como premissas.
2º) A ocorrência de um termo na conclusão que não aparece nas premissas.
Quer dizer, temos que aceitar como válido, segundo os princípios do CPC, o seguinte argumento:
Eu existo.
Eu não existo.
Logo, o céu é azul.
Muitos devem ter indagado:
- Oras! A definição de validade lógica de um argumento é que ele é válido se, e somente se, caso as premissas sejam verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira. Mas neste caso as premissas nunca são (ambas) verdadeiras. Como ele pode ser válido?
O fato é que "num argumento logicamente válido, sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira" é equivalente a "num argumento logicamente válido, nunca as premissas serão verdadeiras enquanto a conclusão é falsa".
E como está evidente na tabela seguinte, neste argumento, as premissas nunca são (ambas) verdadeiras enquanto a conclusão é falsa:


α β ¬α α∧¬α
V V F F
V F F F
F V V F
F F V F
Pode parecer um argumento inútil. Afinal, quem argumentaria com premissas cuja falsidade é evidente pela própria estrutura? Mas ele expressa algo muito interessante: pela lógica clássica, sistemas que aceitam contradição devem aceitar qualquer teorema. Em outras palavras: inconsistência implica trivialidade.
Isto não ocorre nas lógicas paraconsistentes (ver: Lógica/Lógicas não-clássicas).

Lei de Dun Scot[editar | editar código-fonte]

Ex falso quodlibet
Mais uma tautologia "estranha":


Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é falso, então α implica qualquer coisa". O que, assim como o Princípio da Explosão, é decorrência do fato que se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira, seja o conseqüente falso ou verdadeiro.

Prefixação[editar | editar código-fonte]

Mais uma tautologia envolvendo a implicação que pode nos deixar perplexos:
Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é verdadeiro, então qualquer coisa implica α". O que é decorrência do fato que uma implicação é verdadeira se o conseqüente for verdadeiro

Propriedades antiintuitivas da Implicação[editar | editar código-fonte]

A função de verdade da implicação pode ser expressa assim:
Ou seja: É falso que seja verdadeiro e seja falso.
Basta fazer a tabela de verdade para verificar que é equivalente a :
A B ¬B A∧¬B ¬(¬A∧B) AB
V V F F V V
V F V V F F
F V F F V V
F F V F V V


A função de verdade da implicação expressa justamente: “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. O que só é falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente não.
Repare a semelhança disto com a definição de argumento logicamente válido: “um argumento é logicamente válido se sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira". É devido a isto que, se uma fórmula formada por uma implicação é válida, então um argumento onde o antecedente desta fórmula seja a premissa e o conseqüente da mesma seja a conclusão é logicamente válido. Isto consiste no teorema da dedução: se , então , e se , então Ex:
etc.
Lembrando que na lógica clássica:
se e somente se
se e somente se
Digamos que para sumir com a propriedade antiintuitiva em questão - se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira – venhamos a redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é “indeterminado”:
A B AB
V V V
V F F
F V I
F F I
Neste caso, temos uma lógica não-clássica trivalente, na qual não vale o princípio de bivalência nem o do terceiro excluído.
Outra possibilidade seria redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é indeterminável (ver: indeterminação ontológica e epistemológica):
A B AB
V V V
V F F
F V ?
F F ?
Neste caso o que estamos chamando de “implicação” não é uma função de verdade.
não seria uma tautologia, não seria válida, o argumento seria inválido, e o argumento seria válido:


A AA
V V
F ?


A B ¬A ¬B AB
V V F F V
V F F V F
F V V F ?
F F V V ?


E ainda haveria a função de verdade “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. E esta função de verdade seria capaz de ser usada para formular tautologias e argumentos válidos que o que acabamos de rotular de implicação não poderia.
Ou seja, isto não consistiria numa solução para as propriedades antiintuitivas da implicação. Apenas a adição de um operador inútil no sistema.

Parte 2[editar | editar código-fonte]

Outra perplexidade da implicação é, dadas quaisquer duas verdades num sistema, a implicação de uma na outra é verdadeira.
Lembrando que o desenvolvimento da lógica clássica por Frege tinha como objetivo lidar apenas com a aritmética. Neste caso, a implicação entre sentenças distintas não gera perplexidade. Ex: Se 2 é par, então 11 é primo. Afinal, tanto que “2 é par” quanto “11 é primo” derivam dos mesmos axiomas da aritmética.
Contudo, ao aplicarmos a lógica clássica a sistemas mais abrangentes, como “conhecimento geral de mundo”, teremos implicações que são verdadeiras e antiintuitivas. Por exemplo: “Se o céu é azul, então Espinoza é filósofo”, “Se Kant é alemão, então a Lua é satélite da Terra” etc. Por um lado, se interpretarmos como “se o antecedente (α) é verdadeiro, o conseqüente (β) também é verdadeiro” não temos problema algum. Por outro, se interpretarmos como “α implica em β” ou “de α se deduz β”, então temos um problema em valorar como verdadeiro uma implicação entre duas sentenças verdadeiras mas desconexas.
Isto indica um limite de aplicabilidade da lógica clássica: algumas interpretações da implicação só fazem sentido em sistemas nos quais as sentenças tenham conexão.
Inspirado neste “paradoxo da implicação” (que não é propriamente um paradoxo, ver Paradoxos), I. C. Lewis formulou um sistema de lógica modal na qual aparece a implicação estrita.
Lógicas modais são tratadas mais profundamente em Lógica/Lógicas não-clássicas. Aqui, basta esclarecer que neste sistema aparecem três novos operadores: , e . Funcionam assim:
significa “α é necessário”.
significa “α é possível”.
significa “α implica estritamente β”. O que é equivalente a
Ou seja, não é possível α ser verdade e β ser falsidade.
A lógica modal de Lewis permite a formalização de sistemas nos quais as sentenças podem ou não ter uma conexão. Contudo, alguns resultados antiintuitivos da implicação têm suas versões na implicação estrita. Ex:
Ou seja: uma proposição (ou fórmula) necessária é implicada estritamente por qualquer proposição.
Ou seja: uma proposição impossível implica qualquer proposição.

Questões Filosóficas[editar | editar código-fonte]

Até que ponto o intuitivo é relevante a uma ciência?
A intuição é uma garantia racional da verdade ou falsidade de algo?
Ou a intuição é apenas uma conformação com o usual, dentro do qual apenas algumas verdades garantidas pela razão (por outros meios) se encontram?
Se for o caso, não bastaria simplesmente, ao aplicar a lógica na retórica, ignorar argumentos antiintuitivos - ex: , , etc. - assim como são ignorados argumentos válidos e intuitivos, mas inúteis para a retórica - ex: , , , etc. - ?
Por outro lado, até que ponto uma ciência que se propõe a estudar a validade formal dos raciocínios pode ignorar a intuição?