Lógica/Lógica Tradicional/Princípios e as Proposições Categóricas

Princípios da Lógica tradicional

Não-contradição

"Efetivamente, é impossível a quem quer que seja acreditar que uma mesma coisa seja e não seja" ARISTÓTELES, Métafísica, $\Gamma 3,$ 1005 b 22-44.

Segundo o Princípio de Não-contradição, dada uma proposição e sua negação, não podem ser ambas verdadeiras.

Terceiro excluído

"Quem diz de uma coisa que é ou que não é, ou dirá o verdadeiro ou dirá o falso. Mas se existisse um termo médio entre os dois contraditórios nem do ser nem do não ser poder-se-ia dizer que é ou que não é". ARISTÓTELES, Métafísica, $\Gamma 7,$ 1011 b 28-30

Identidade

"(Todo) A é A".

"Cada coisa é aquilo que é" LEIBNIZ, Novos Ensaios sobre o Entendimento Humano.

Apesar de frequentemente atribuído a Aristóteles, não há referências do Princípio de Identidade até o século XIII. De qualquer forma, ele está inserido nos estudos de lógica tradicional. O princípio de identidade é a expressão do princípio de não contradição e formula-se da seguinte forma: - Forma ontológica: o ser é e o não ser não é, isto é, toda coisa é igual a si mesma. - Forma lógica: A=A; todo A é igual a A.

Proposições Categóricas

A - Universal Afirmativa: "Todo A é B" ou "Qualquer A é B".
E - Universal Negativa: "Todo A não é B" ou "Nenhum A é B".
I - Particular Afirmativa: "Algum A é B" ou "Alguns As são Bs".
O - Particular Negativa: "Algum A não é B" ou "Alguns As não são Bs".

Proposições cujo sujeito consiste em um nome próprio - exemplo: "Sócrates é mortal", "Fulano é A", "Beltrano é B" etc. - são chamadas de proposições singulares.

Apesar de parecer muito restrito (e realmente é), o escopo deste sistema lógico pode ser ampliado parafraseando as proposições para a estrutura "A é B". Exemplos:

"Algumas aves voam" ≡ "Algumas aves são voadoras"

"João matou Pedro" ≡ "João é assassino de Pedro"

"Renata tem uma moto" ≡ "Renata é dona de uma moto"

"Todos ornitorrincos põem ovos" ≡ "Todos ornitorrincos são ovíparos"

etc.

Obviamente, nem sempre a quantificação ("todo", "algum", "nenhum" etc.) é explícita. Ex: "[todos] Ornitorrincos põem ovos", "A maioria das [ou seja, algumas] aves voam" etc.

Conversões

Conversão é um argumento ou raciocínio da seguinte estrutura:

"A é B".

"Logo, B é A".

A quantificação torna algumas conversões lícitas e outras ilícitas:

Conversões Lícitas

Do tipo E (Universal Negativa):

Nenhum A é B. Logo nenhum B é A.

Exemplo: Nenhum peixe é anfíbio. Logo nenhum anfíbio é peixe.

Do tipo I (Particulares Afirmativas):

Algum A é B. Logo algum B é A.

Exemplo: Algumas mulheres são artistas. Logo alguns artistas são mulheres.

Conversões Ilícitas

Do tipo A (Universal Afirmativa):

Todo A é B. Logo todo B é A.

Exemplo: Todos humanos são animais racionais. Logo todos animais racionais são humanos.

Contra-exemplo: Todas mulheres são seres humanos. Logo todos seres humanos são mulheres.

Observação: se a proposição universal afirmativa for uma definição - tal como o exemplo pode ser considerado - então a sua conversão é lícita.

Do tipo O (Particular Negativa):

Algum A não é B. Logo algum B não é A.

Exemplo: Alguns peixes não são animais marítimos. Logo alguns animais marítimos não são peixes.

Contra-exemplo: Alguns peixes não são tubarões. Logo alguns tubarões não são peixes.

Oposições

Oposições são relações entre proposições de tipos distintos com os mesmos termos nas mesmas posições de sujeito e predicado acerca do valor (verdadeiro ou falso) que cada uma deve receber no mesmo sistema ou contexto em vista dos valores das demais.

Exemplo: Dadas as proposições "Todo corvo é preto" (A), "Nenhum corvo é preto" (E), "Algum(ns) corvo(s) é(são) preto(s)" (I), "Algum(ns) corvo(s) não é(são) preto(s)" (O), o valor (verdadeiro ou falso) de qualquer uma determina o valor das demais dentro do mesmo contexto.

Todas oposições são recíprocas.

Contrariedade

Duas proposições são contrárias quando ambas não podem ser verdadeiras, mas ambas podem ser falsas.

Universais Afirmativas (A) e Universais Negativas (E) são contrárias.

Exemplos:

"Todos corvos são pretos" e "Nenhum corvo é preto" não podem ser ambas verdadeiras.

"Todos homens são brancos" e "Nenhum homem é branco" podem ser ambas falsas.

Contraditoriedade

Duas proposições são contraditórias quando elas nunca podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Universais Afirmativas (A) e Particulares Negativas (O) são contraditórias. Universais Negativas (E) e Particulares Afirmativas (I) são contraditórias.

Exemplos:

Se "alguns mamíferos são ovíparos" (I) é verdadeira, então "nenhum mamífero é ovíparo" (E) é falsa.

Se "alguns mamíferos são insetos" (I) é falsa, então "nenhum mamífero é inseto" (E) é verdadeira.

Se "todos homens são mortais" (A) é verdadeira, então "alguns homens não são mortais" (O) é falsa.

Se "alguns homens não são brancos" (O) é verdadeira, então "todos homens são brancos" (A) é falsa.

Subalternidade

Quando a Universal da relação é verdadeira, a Particular também é verdadeira. Contudo, o contrário não é logicamente necessário (ver: Indução).

Quando a Particular da relação é falsa, a Universal também é falsa. Contudo, o contrário não é logicamente necessário.

Universais Afirmativas (A) e Particulares Afirmativas (I) são subalternas. Universais Negativas (E) e Particulares Negativas (O) são subalternas.

Exemplos:

Se "todos triângulos são polígonos" (A) é verdadeira, então "alguns triângulos são polígonos" (I) é verdadeira.

Se "nenhum mamífero é invertebrado" (E) é verdadeira, então "alguns mamíferos não são invertebrados" é verdadeira.

Se "alguns triângulos são círculos" é falsa, então "todos triângulos são círculos" é falsa.

Se "alguns insetos não são artrópodes" (O) é falsa, então "nenhum inseto é artrópode" (E) é falsa.

Subcontrariedade

Duas proposições são subcontrárias quando ambas não podem ser falsas, mas ambas podem ser verdadeiras.

Particulares Afirmativas (I) e Particulares Negativas (O) são subcontrárias.

Exemplos:

"Alguns homens são asiáticos" (I) e "alguns homens não são asiáticos" (O) podem ser ambas verdadeiras, mas não podem ser ambas falsas.

Subalternação

Subalternação consiste num raciocínio no qual há uma única premissa que é universal e a conclusão é de um tipo subalterno ao da premissa, havendo a comutação entre sujeito e predicado.

Subalternação A-I

Todo A é B.

Logo alguns Bs são As.

Exemplos:

Todo triângulo é polígono.

Logo alguns polígonos são triângulos.

Todos gatos são mamíferos.

Logo alguns mamíferos são gatos.

Subalternação E-O

Nenhum A é B.

Logo alguns Bs não são As.

Exemplos:

Nenhum mamífero é réptil.

Logo alguns répteis não são mamíferos.

Agora uma ressalva muito importante deve ser feita. Os lógicos contemporâneos repararam que, em certas circunstâncias, este tipo de raciocínio pode conter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Ou seja, é falacioso. Isto ocorre quando ao menos um dos termos em questão é vazio. Por exemplo, se o conjunto A é vazio, “Todo A é B” pode ser verdade, mas “alguns Bs são As” é falso. A ilustração seguinte esclarecerá a questão:

Imagine o seguinte contexto: um país no qual...

Todos assassinos são executados.
Outros crimes além do assassinato são punidos com a execução.
Nunca ocorreu um assassinato.

Este sistema é consistente, ou seja, as verdades não são contrárias ou contraditórias entre si. Não há nada de contraditório em estar estipulada a punição para um crime que nunca ocorreu. Contudo, se “todos assassinos são executados” for premissa de um raciocínio de subalternação, teremos como conclusão “alguns executados são assassinos”, o que é contraditório com “nunca ocorreu um assassinato”, ou seja, “assassinos não existem [no contexto em questão]”.

Assim, para se realizar a inferência “Todo A é B. Logo alguns Bs são As.” deve-se assumir que o conjunto dos As (e consequentemente o dos Bs) não é vazio. O que, na concepção contemporânea de lógica, significa que deve haver uma premissa que afirme que As existem.

Da mesma forma, para se realizar a inferência “Nenhum A é B. Logo alguns Bs não são As.” deve-se assumir que o conjunto dos Bs não é vazio (podendo o conjunto dos As ser ou não vazio). O que, na concepção contemporânea de lógica, significa que deve haver uma premissa que afirme que Bs existem.

Algo semelhante também ocorre com alguns silogismos, como veremos adiante.