Guia de problemas matemáticos/Teoria dos números/Números no quadrado

O problema

Observe o quadrado em que as letras representam os números naturais distintos desde 1 até 9. Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, desse quadrado, tem sempre o mesmo resultado, então calcule o número que a letra P representa.

Uma solução

Pelo enunciado, temos que a soma dos três números de cada linha do quadrado é constante. Vamos representá-la por c. Assim sendo, podemos escrever:

k + m + n = c

o + p + q = c

r + s + t = c

Vamos então somar todas as equações. Note que soma de todos os fatores do lado esquerdo das equações representa a soma dos números naturais de 1 a 9, que é igual a 45. Portanto:

45 = 3c

c = 15

Encontramos o valor da soma de cada linha, coluna ou diagonal do quadrado. Como já foi dito que essa soma é a mesma - e agora encontramos seu valor -, podemos fazer o seguinte:

k + p + t = 15

m + p + s = 15

n + p + r = 15

Podemos, novamente, somar as três equações. Agora note que k + m + n = r + s + t =15. Então:

30 + 3p = 45

3p = 15

p = 5

E terminamos o problema.

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