Guia de problemas matemáticos/Números complexos/Complexo de menor argumento em função de duas constantes

O problema

Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação $|z-ai|\leq ak$, qual é o de menor argumento?

Uma solução

Primeiramente, vamos pensar em todos os complexos w que possuem módulo menor ou igual a ak. Podemos perceber que eles formam um círculo, de centro O (0,0) e raio igual a ak. Ok. Agora, pelo enuncidado, temos que:

$|w|=|z-ai|\rightarrow w=z-ai\rightarrow z=w+ai$

Então, temos que todos os complexos z que satisfazem o enunciado serão dados pela soma de todos os complexos w com o fator ai. Sendo assim, se todos os complexos w formavam um círculo de centro O e raio ak, agora todos os complexos z formarão outro círculo, de mesmo raio ak, porém com centro em (0,a). Todas essas coordenadas e figuras expressam-se no plano de Argand-Gauss. Para um melhor entendimento, eu montei essa imagem (na imagem, $\rho _{1}=\rho _{2}=ak$):

Figura 1.

Agora, nós já sabemos onde procurar pelo complexo z de menor argumento. Mas, como encontrá-lo?!

Bom, sabe-se que, quanto menor o argumento, maior será o cosseno desse ângulo, se ele pertencer ao 1° quadrante. Então, precisamos encontrar o complexo z que fornecerá o argumento com maior cosseno. Se nós traçarmos o módulo do complexo z, do ponto O até as coordenadas de z (lembre-se, z pertence ao círculo c, em vermelho, da figura acima), veremos que o menor argumento ocorrerá exatamente quando o módulo de z for tangente ao círculo c. Dessa maneira, teremos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a a, catetos iguais a ak e |z|. Outra imagem para um melhor esclarecimento:

Figura 2.

Aproveitando a imagem, eu coloquei também os lados x e y do complexo z. Portanto, se encontrarmos x e y, encontramos o complexo z. Mas como encontrar x e y ? É um pouco simples: o triângulo formado por a, ak e |z| é semelhante ao triângulo formado por |z|, x e y, sendo a proporcional a |z|, ak proporcional a x e |z| proporcional a y. Então, vamos aos cálculos!

Primeiro, calculemos |z|:

$a^{2}=|z|^{2}+\left(ak\right)^{2}$

$|z|^{2}=a^{2}-a^{2}k^{2}$

$|z|^{2}=a^{2}\left(1-k^{2}\right)$

$|z|=a{\sqrt {1-k^{2}}}$

Agora, vamos às semelhanças dos triângulos:

Seja $\theta$ o argumento de z. Então:

$\cos \theta ={\frac {x}{|z|}}={\frac {ak}{a}}\rightarrow x=k.|z|\rightarrow x=ak{\sqrt {1-k^{2}}}$

$\sin \theta ={\frac {y}{|z|}}={\frac {|z|}{a}}\rightarrow y={\frac {|z|^{2}}{a}}\rightarrow y={\frac {a^{2}.\left(1-k^{2}\right)}{a}}\rightarrow y=a\left(1-k^{2}\right)$

Logo, se z = x + yi:

$z=ak{\sqrt {1-k^{2}}}+a\left(1-k^{2}\right)i$.

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