Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 1

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O problema[editar | editar código-fonte]

Se o conjunto solução da inequação é S, então calcule o número de elementos da intersecção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros.

Uma solução[editar | editar código-fonte]

Um bom artifício para a solução desse problema é a substituição de uma operação mais complexa (ou um conjunto de variáveis) por uma incógnita, a fim de tornar a solução mais simples e rápida. Nesse caso, utilizaremos a seguinte notação:



Agora basta substituir as novas incógnitas na equação inicial:


Acabamos numa inequação do segundo grau. Para resolvê-la precisamos encontrar suas raízes. Como o coeficiente do primeiro termo da inequação é maior que zero, a parabóla da equação correspondente sera voltada para cima. Assim, qualquer número x, pertencente ao conjunto dos Números Reais, que esteja entre as raízes (inclusive) fará com que a inequação torne-se verdadeira (qualquer x situado entre as raízes fara com que a função, ou equação, correspondente tome valor nulo ou negativo). Então, ao cálculo das raízes!

Logo, o conjunto-solução dessa inequação é:


Para auxiliar no entendimento, eu montei essa imagem, ilustrando o gráfico da função correspondente à inequação que encontramos:

Gráfico da função encontrada. Perceba que entre e a inequação é satisfeita.

Porém, nós calculamos o intervalo no qual k satisfaz a inequação. O problema pede as soluções para x... Em princípio, não podemos escrever:

Porque x poderia ser menor que zero. No entanto, se x fosse menor que zero, então o termo também seria menor que zero, contradizendo o fato de . Portanto, como x não pode ser menor que zero, nem zero, temos que x > 0, logo pode-se multiplicar a inequação por x:

Agora, nós podemos transferir o fator (x² + 1) para cada um dos dois lados da desigualdade encontrada, e verificar, finalmente, quais valores de x satisfazem o problema:

Essa última inequação encontrada não tem soluções no conjunto dos Números Reais. Então, não é necessário prosseguir com ela. Vamos à seguinte:

Pela finalização acima, percebe-se claramente que a inequação encontrada é nula para x = 1 (pois, na decomposição de qualquer equação, tem-se que (x - p).(x - q) = 0, onde p e q são as raízes da equação). Ela possui somente esse ponto de intersecção com o eixo x , sendo que todo e qualquer outro x real fará com que ela tome valores positivos, nunca negativos. Então, a única solução inteira (e real) da inequação inicial é x = 1. Portanto:

E termina-se o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos[editar | editar código-fonte]

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.