Otimização/Situação inicial: diferenças entre revisões
[edição não verificada] | [edição não verificada] |
Sem resumo de edição |
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Linha 40: | Linha 40: | ||
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. |
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. |
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===Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>=== |
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Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2</math> |
Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2</math> |
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Linha 46: | Linha 46: | ||
Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. |
Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. |
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Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y) \ |
Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y)</math>. Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) </math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) </math>. |
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Portanto, <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math> |
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<math> \Rightarrow f(z) < f(x), \forall \; x \in D_1 </math>. Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) </math>. Contradição! (está quase pronta a demonstração) |
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==Exemplo 2== |
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Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math> e <math> \bar{x} \in D_2</math> |
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=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> === |
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==== Fórmulas ==== |
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<nowiki> |
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<math> </math> |
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\| \| |
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\bar{} |
|||
\mathbb{} |
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{ \over } |
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\Rightarrow |
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\Leftarrow |
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\Leftrightarrow |
|||
\mapsto |
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</nowiki> |
Revisão das 16h29min de 17 de outubro de 2010
Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nos outros capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função é o mesmo de achar o mínimo da função
Mínimo Global
Seja e . Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo global,
- se
Máximo Global
Seja e . Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo global,
- se
Mínimo Local
Seja e . Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo local,
- se onde
Máximo Local
Seja e . Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo local,
- se onde
Exemplo
Seja , tais que .
Mostrar que
Afirmação: e
Prova1: Tome .
Prova2: Suponha por contradição que . Mas . Logo . Contradição! A contradição foi supor que .
Portanto,
Exemplo 2
Seja , tais que . Seja e
Mostrar que
Fórmulas
<math> </math> \| \| \bar{} \mathbb{} { \over } \Rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow \mapsto