Otimização/Situação inicial

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função $f$ é equivalente a achar o mínimo da função $- f .$

Mínimo global

Sejam $D \subset ℝ^{n}$ e $f : D \to ℝ .$ Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o $\min f (x), \forall x \in D .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é mínimo global, se $f (\bar{x}) \leq f (x), \forall x \in D .$

Máximo global

Seja $D \subset ℝ^{n}$ e $f : D \to ℝ .$ Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o $\max f (x), \forall x \in D .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é máximo global, se $f (\bar{x}) \geq f (x), \forall x \in D .$

Mínimo local

Seja $D \subset ℝ^{n}$ e $f : D \to ℝ .$ Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o $\min f (x), \forall x \in D \cap B_{ϵ} (\bar{x}) .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é mínimo local, se

f (\bar{x}) \leq f (x), \forall x \in D \cap B_{ϵ} (\bar{x})

onde

B_{ϵ} (\bar{x}) = {x \in D; ‖ x - \bar{x} ‖ < ϵ} .

Máximo local

Seja $D \subset ℝ^{n}$ e $f : D \to ℝ .$ Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o $\max f (x), \forall x \in D \cap B_{ϵ} (\bar{x}) .$

Definição

Dizemos que um ponto $\bar{x} \in D$ é máximo local, se $f (\bar{x}) \geq f (x), \forall x \in D \cap B_{ϵ} (\bar{x})$ onde $B_{ϵ} (\bar{x}) = {x \in D; ‖ x - \bar{x} ‖ < ϵ} .$

Exemplos

Seja $f : ℝ^{n} \to ℝ; D_{1}, D_{2} \subset ℝ,$ tais que $D_{2} \subset D_{1} .$

Exemplo 1

Mostrar que $inf_{x \in D_{1}} f (x) \leq inf_{x \in D_{2}} f (x) .$

Afirmação: $f (y) = inf_{x \in D_{1}} f (x) \Rightarrow f (y) \leq f (x), \forall x \in D_{1}$ e $f (z) = inf_{x \in D_{2}} f (x) \Rightarrow f (z) \leq f (x), \forall x \in D_{2} .$

Prova1: Tome $t \in D_{2} \subset D_{1} \Rightarrow t \in D_{1} \Rightarrow f (y) \leq f (t), \forall t \in D_{2} \Rightarrow f (y) \leq f (z) .$

Prova2: Suponha por contradição que $inf_{x \in D_{2}} f (x) < inf_{x \in D_{1}} f (x) \Rightarrow f (z) < f (y) .$ Mas $z \in D_{2} \subset D_{1} \Rightarrow z \in D_{1} \Rightarrow f (y) \leq f (z) .$ Logo $f (z) < f (y) \leq f (z) .$ Contradição! A contradição foi supor que $inf_{x \in D_{2}} f (x) < inf_{x \in D_{1}} f (x) .$

Portanto, $inf_{x \in D_{1}} f (x) \leq inf_{x \in D_{2}} f (x) .$

Exemplo 2

Seja $f : ℝ^{n} \to ℝ; D_{1}, D_{2} \subset ℝ,$ tais que $\bar{x} \in D_{2} \subset D_{1} .$ Seja $f (\bar{x}) \leq f (x), \forall x \in D_{1} .$

Mostrar que $f (\bar{x}) \leq f (x), \forall x \in D_{2} .$

Suponha por contradição que $\exists z \in D_{2}$ tal que $f (z) < f (\bar{x}) .$ Por $z \in D_{2} \subset D_{1} \Rightarrow f (\bar{x}) \leq f (z) .$ Logo $f (z) < f (\bar{x}) \leq f (z) .$ Contradição! A contradição foi supor que $\exists z \in D_{2}$ tal que $f (z) < f (\bar{x}) .$ Portanto $f (\bar{x}) \leq f (x), \forall x \in D_{2} .$