Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática/Atividades

Orientações gerais para resolução das atividades:

• Procure fazer cada item em um arquivo novo e sem esquecer de salvar em sua área de trabalho sendo seunome_ativ1.1_01;
• Procure realizar as atividades na ordem proposta, pois as definições e ferramentas estão sendo exploradas gradativamente;
• Ao surgirem dúvidas solicite a ajuda imediata de um monitor ou ao termino de cada aula;
• As dúvidas podem ser enviadas também para geogebraufpr@gmail.com e serão respondidas na seqüência e esta porta de contato é permanente.

OBS: as soluções das atividades não serão descritas, pois serão realizadas durante o mini-curso.

Atividade 01 – Ponto, reta e segmento 01

1. Crie dois pontos livres. Movimente-os.
2. Construa uma reta passando por estes dois pontos.
3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com extremidades nestes pontos.
4. Apague a reta e o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).
5. Usando apenas a ferramenta, construa um outro segmento e determine a medida do segmento. Movimente uma das extremidades do segmento. Observe a janela geométrica e a janela algébrica.

Atividade 02 – Ponto, reta e segmento 02

1. Crie um segmento a partir de um seletor com intervalo de 0 a 8.Clique sobre o segmento com o botão direito do mouse, a seguir clique em Propriedades para mudar sua cor e sua "espessura".
2. Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre a extremidade do segmento com o botão direito do mouse, no menu que abrirá clique em Renomear, digite na janela que aparecerá o novo nome do ponto e clique em Aplicar).
3. Faça uma círculo com centro em uma das extremidades do segmento passando por um ponto qualquer.
4. Faça outra círculo de raio 3 e centro na outra extremidade do segmento. Clique com o botão direito do mouse sobre a círculo e entre em propriedades, modifique a cor, a espessura da linha e preencha o desenho, agora observe que temos o disco.
5. Faça um ponto sobre cada um dos círculos e uma reta passando por esses pontos. Movimente o seletor e verifique o que acontece com o segmento e os círculos.
6. Verifique a posições relativas entre os círculos.

Atividade 03 – Círculos

1. Construa um círculo com centro (2, 3) e um de seus pontos sendo (2, 1). Determine a medida do raio deste círculo.
2. Crie um seletor de intervalo de 0 a 5. Construa um círculo com centro (0, 0) e raio dependente do seletor. (para isso quando o círculo pedir o tamanho do raio coloque a letra que representa o seletor). Movimente o seletor
3. Construa um círculo com centro (2, 4) e raio 4 (utilizando a ferramenta de construção de círculo com centro e raio). Altere a espessura, e preencha o círculo. O que temos agora?
4. Construa um círculo definido pelos seguintes pontos: (2, 2), (1, 4), (3, 4), (dica: crie os pontos primeiro, e você pode utilizar a ferramenta exibir malha para facilitar a localização dos pontos). Agora clique com o botão direito sobre a figura vá em propriedades, cor e altere a cor do círculo, depois vá em preenchimento e preencha a figura.

Atividade 04 – Arcos

1. Construa um semicírculo dados os pontos extremos (1, 1) e (4, 1).
2. Construa um arco circular dados centro A (3, 2) e os pontos extremos B (3, 4), C (1, 2). Agora considere o mesmo centro e tome B (1, 2) e C (3, 4). Compare estes dois arcos. Que figuras formamos unindo-os?
3. Construa um arco circuncircular dados os pontos: A(-5, -2), B(-2, -2), C(-2, 2). Movimente o ponto B e descreva o que acontece.
4. Construa um segmento qualquer e determine a semicírculo com extremos coincidentes com os extremos do segmento.

Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular

1. Construa um segmento com uma extremidade em A(3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vírgula devemos colocar o ponto).
2. Utilizando a ferramenta ponto médio, determine o ponto médio deste segmento. Renomeie o ponto de M.
3. Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que temos?
4. Construir um segmento qualquer, e sua mediatriz utilizando círculos
5. Construa outro segmento qualquer, determine a sua mediatriz (o programa tem esta ferramenta localize-a). Meça este segmento, depois movimente uma das extremidades dele e verifique o que acontece com a mediatriz.
6. Construa uma reta passando por dois pontos quaisquer, determine sua mediatriz. Porque isso acontece.
7. Construa uma semi-reta e determine seu ponto médio.

Atividade 06 – Paralelas

1. Construa uma reta e nomeia de r, construa uma círculo de raio 2,. construa um ponto P sobre a círculo, trace uma reta paralela a r por P
2. Construa uma reta passando por A(2,3) e B(-1,-2). Determine a reta paralela a esta passando pelo ponto C (-1,3)
3. Construa um seletor. Construa um segmento dependente do seletor. Crie o ponto D(-3,2) e a reta paralela ao segmento passando por D. Calcule a distância do segmento até sua paralela.
4. Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t. Construa uma perpendicular a t passando por F. Construa uma círculo de centro F dependente do seletor. Com a opção intersecção de dois objetos encontre a interseção da círculo e a perpendicular. Trace paralela pelas intersecções e t. Movimente o seletor e descreva o que acontece.

Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes

1. Construa duas retas paralela entre si. Construa uma concorrente a essas duas. Meça o ângulos formado na intersecção delas.
2. Construa um ângulo de 60° utilizando a ferramenta ângulo com amplitude fixa. Determine sua bissetriz.
3. Construa um ângulo qualquer, e determine sua medida. Utilizando a ferramenta bissetriz, determine sua bissetriz.
4. Construa um setor circular com raio 4 cm. Meça seu ângulo, determine sua área e seu comprimento. Agora altere a medida do raio e verifique o que acontece com o ângulo, com a área e com o perímetro do setor circular.
5. Construa um círculo pelo centro (A) e um de seus pontos (B). Marque três outros pontos (C, D e E) da círculo. Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. Marque o ângulo inscrito CÊD e o ângulo central CÂD. Observe, na janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as.

Atividade 08 – Triângulos

1. Explorando a ferramenta ângulo crie um triangulo retângulo isósceles
2. Utilizando a ferramenta polígono, construa um triângulo qualquer. Determine uma das bissetrizes deste triângulo, utilizando a ferramenta bissetriz e através de círculos.
3. Construa um triângulo equilátero de lado 6 cm. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados.
4. Construa um triângulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados.
5. Movimente o triângulo acima alterando sua forma e perceba o que acontece com as outras construções, e suas medidas.
6. Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção.
7. Construa um triângulo isósceles ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos da base.
8. Construa um triângulo equilátero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos internos.
9. Construa um triângulo ABC. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém a ferramenta reta perpendicular), construa a mediatriz do lado AB e a do lado AC . Marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D. Trace a círculo de centro D que passa por A. Observe as posições dos pontos B e C em relação à círculo. Movimente um dos vértices do triângulo e enuncie com suas palavras a propriedade que você observou.
10. Construa um triângulo ABC. Trace duas alturas desse triângulo e marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a terceira altura, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D (ortocentro do triângulo ABC). Movimente novamente um dos vértices de forma a obter triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos. Relacione a posição do ortocentro com a classificação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos (acutângulo, obtusângulo ou retângulo).

Atividade 09 – Construção de triângulos a partir de elementos dados.

Construir triângulo ABC, sendo dados:

1. os três lados. a=5 cm, b=4,5, c=5 cm.
2. dois lados e um ângulo adjacente. a=5 cm, b=3,5 cm, Bˆ =30°.
3. um lado e dois ângulos adjacentes. a=5 cm, Bˆ =30°, Cˆ =45°.
4. um lado, ângulo oposto e ângulo adjacente. a=4 cm, Â=45°,Bˆ =22,5°.
5. dois lados e o ângulo oposto ao terceiro lado. a=4 cm, b=3 cm, Cˆ =60°.

Construir o triângulo ABC, retângulo em A, dados:

1. um cateto e o ângulo oposto. b=2 cm, Bˆ =30°.
2. a hipotenusa e um ângulo adjacente. a=4 cm, Bˆ =60°.
3. a hipotenusa e um cateto. a=5 cm, c=2 cm.
4. os catetos. b=3,5, c=2 cm.
5. as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. m=2 cm, n=3 cm
6. um cateto e a sua projeção sobre a hipotenusa. c=3,5 cm, n=2 cm.
7. um cateto e a projeção do outro sobre a hipotenusa. c=2 cm, m=4 cm

Construir triângulo ABC, dados dois ângulos Bˆ =60° e Cˆ =45°, e

1. uma altura. ha=3,5 cm.
2. uma mediana. ma=4,5 cm.
3. uma bissetriz. ba=4 cm.
4. o raio da círculo circunscrita. R=3 cm.
5. o raio da círculo inscrita. r=1,5 cm.

Construir o triângulo ABC, dados

1. dois lados e a altura relativa a um deles. a=3,5 cm, c=2,5 cm, ha=2 cm.
2. um lado, altura relativa ao mesmo e um ângulo adjacente. a=3 cm, ha=2 cm, Bˆ =30°.
3. um lado, um ângulo adjacente e a mediana relativa ao mesmo. a=4 cm, Bˆ =45°, ma=2,5 cm
4. dois lados e a altura relativa ao terceiro lado. b=4,5 cm, c=4 cm, ha=3 cm.
5. um lado, ângulo oposto e a altura relativa ao mesmo. a=3,5 cm, ha=2,5, Â=45°.
6. um lado, altura relativa ao mesmo e altura relativa a outro lado. a=5 cm, ha=3,5 cm, hb=4 cm.
7. um lado e as alturas relativas aos outros lados. a=5 cm, hb=4 cm, hc=4,5 cm.
8. dois lados e a mediana relativa a um deles. a=5 cm, c=4 cm, mc=4,5.
9. um lado, mediana relativa ao mesmo e a altura relativa ao outro lado. a=6 cm, ma=3,5 cm, hb=5 cm.
10. dois lados e a mediana relativa ao terceiro. a=5 cm, c=4 cm, mb=3,5.
11. as medianas. ma=3 cm, mb=4 cm, mc=5 cm.
12. um ângulo, mediana relativa ao lado oposto e outra mediana. Â=60°, ma=5 cm, mc=4 cm.
13. uma altura e uma mediana relativas ao mesmo lado e o raio da círculo circunscrita. ha=4 cm, ma=4,5 cm, R=3,5 cm
14. um lado, um ângulo e o raio da círculo inscrita. b=6 cm, r=1,5 cm, Â=90o.
15. os pontos médios dos lados em posição. MaMb=3,5 cm, MaMc=3 cm, MbMc=2,5.

Atividade 10 – Congruência

1. Mostrar que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes.
2. Mostrar que em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
3. Mostrar que em todo retângulo, os lados opostos são congruentes.
4. Mostrar que as diagonais de um retângulo são congruentes.
5. Mostrar que em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
6. Porque o caso (LLA) não é caso de congruência?

Atividade 11 – Áreas e perímetro

1. Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento do círculo.
2. Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento do círculo
3. Construa duas retas paralelas r e s. Um segmento AB qualquer sobre uma delas. Construa os pontos D e E sobre a outra. Construa os triângulos ABD e ABE, calcule suas áreas, movimente D e E e descreva o que acontece com as medidas das áreas.

Atividade 12 – Quadriláteros

1. Construa um quadrado de lado 4 cm. Determine a circunferência inscrita e a circunscrita a este quadrado, altere a medida do lado do quadrado. Determine a medida de seus ângulos internos.
2. Construa um retângulo de lados 4 cm e 3 cm. Utilizando as propriedades do retângulo. Movimente um de seus vértices e perceba que as propriedades são conservadas. Calcule sua área e seu perímetro.
3. Construa um quadrado de lado 3 Mostre, na janela geométrica, a medida dos ângulos e dos lados do quadrado (clique sobre o objeto com o botão direito do mouse; no menu que abrirá clique em propriedades; na janela que aparecerá, selecione todos os segmentos e ângulos, com o botão control do teclado apertado; em exibir rótulo, coloque Nome & Valor e clique em Aplicar).Movimente um dos vértices e confira sua construção, observando as medidas dos ângulos e dos lados. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em Protocolo de construção. Reveja a sequência de passos de sua construção. Ao terminar, feche essa janela.

Atividades 13 – Construção de quadriláteros a partir de elementos dados

Construir um quadrado dados:

1. o lado. a=3 cm.
2. a diagonal. BD=4 cm.
3. o raio da círculo circunscrita. R=2,5 cm.
4. o raio da círculo inscrita. r=2 cm.

Construir um retângulo dados:

1. os lados. a=4 cm, b=2,5 cm.
2. diagonal e o lado. a=2,5, d=3,5.
3. diagonal e o ângulo formado pelas mesmas. d=4 cm, a=120°.

Construir um losango dados:

1. as diagonais. AC=5 cm, BD=3 cm.
2. um lado e uma diagonal. AB=3 cm, AC=4,5.
3. um lado e um ângulo. AB=3 cm, Cˆ =45°.

Construir um paralelogramo ABCD dados:

1. os lados e um ângulo. AB=4 cm, BC=7 cm, Bˆ =45°.
2. os lados e uma diagonal. AB=5 cm, BC=3 cm, AC=4 cm.
3. as diagonais e um lado. AC=5 cm, BD=4 cm, BC=2,5 cm.
4. as diagonais e o ângulo por elas formado. BD=4 cm, AC=3 cm, a=120°.
5. os lados e a altura. BC=5 cm, AB=3 cm, hBC=2,5.

Construir um trapézio ABCD dados:

1. os lados. AB=5,5 cm, BC=3,5 cm, CD=4 cm, AD=3 cm.
2. as bases e as diagonais. AB=4,5 cm, CD=3,5 cm, BD=5,5 cm, AC=5 cm
3. as bases, uma diagonal e o ângulo formado pelas diagonais. AB=4,5 cm, AC=4 cm, DC=2,5, AÊB=120° (E é o ponto de interseção das diagonais).
4. uma base, dois lados e o ângulo formado por um dos lados com a base dada. AB=4,5 cm, AD=3 cm, BC=2,5, Â=60°.

Construir um trapézio isósceles dados:

1. as bases e altura. AB=3 cm, CD=4,5 cm, h=2 cm.
2. as bases e uma diagonal. AB=4 cm, CD=3 cm, AC=4 cm.
3. as bases e o raio da círculo circunscrita. AB=5,5 cm, CD=3 cm, R=3 cm.

Construir um trapézio retângulo em A dados:

1. as bases e a altura. AB=3,5 cm, CD=2 cm, h=2,5 cm.
2. uma base, um lado e a altura. AB=3,5 cm, BC=2,5 cm, h=2 cm.
3. Em um losango de lado 5 cm, uma das diagonais mede 8 cm. Calcule a área desse losango.
4. Calcule a área de um paralelogramo ABCD, em que AB = 8 cm, BC = 12 cm e m<ABC = 135°.

Atividade 14 – Tales

1. A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. Qual a altura do poste?
2. Uma fazenda tem a forma de um trapézio de bases AB (segmento) e CD (segmento), com AD = 9 km e BC = 12 km. A partir de um ponto E do lado AD (segmento) com AE = 6 km, o fazendeiro pretende construir uma estrada paralela a AB(segmento) que cruze a fazenda até um ponto F do lado BC (segmento). Calcule a distância FC.
3. Construa um segmento AB de medida 6. Divida este segmento AB em n = 3 partes iguais.
4. Construa um segmento AB de medida 7 e divida em n = 5 partes proporcionais a 2.

Atividade 15 – Semelhança

1. Considere um triângulo ABC, com E um ponto pertencente a AB(segmento), D ponto pertencente a AC(segmento), e ED(segmento) paralelo a BC(segmento), sendo AB = 18 cm, AC = 12 cm, ED = 6 cm e BC = 9 cm. Determine as medidas de AE(segmento) e AD(segmento).
2. Um projetor de slaide, colocado a 9 m de distância de uma tela, projeta um retângulo de altura 6 m. A que distância da tela deve ser colocado o projetor para que o retângulo projetado tenha 2m de altura?
3. No triangulo acutângulo ABC, a base AB (segmento) mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB (segmento), P pertence ao lado BC (segmento) e Q, ao lado AC (segmento). O perímetro desse retângulo em cm é?
4. Por que o caso (LLA) não é caso de semelhança?

Atividade 16 – Equivalência de áreas

1. Construir um triângulo ABC equivalente a um quadrilátero PQRS dado, sabendo-se que P_A e que o segmento BC está sobre a reta QR.
2. Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sabendo-se que o ponto A coincide com o ponto P e o segmento BC está sobre a reta RS.
3. Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sabendo-se que o ponto A pertence ao segmento PQ e o segmento BC está sobre a reta RS.
4. Construir um triângulo ABC equivalente a um polígono dado, sendo A_P e que o segmento BC está sobre a reta RS.
5. Construir um quadrado equivalente a um triângulo ABC dado
6. Obter graficamente o lado do quadrado equivalente ao trapézio ABCD dado.
7. Obter graficamente o lado de um quadrado equivalente ao octógono regular inscrito numa círculo de raio 2 cm.
8. Construir um quadrado equivalente a um círculo de raio 3 cm.
9. Determinar graficamente o lado de um quadrado equivalente a um setor circular de 75o de um círculo de raio 4,3 cm.

Atividade 17 – Pitágoras

1. Demonstre (geometricamente) o teorema de Pitágoras com o triângulo retângulo qualquer.
2. Construa um triângulo equilátero de lado a= 2,5 cm determine sua altura.
3. Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M, médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento de BP é:
4. Num trapézio retângulo as bases medem 16 cm e 4 cm respectivamente. O maior lado não paralelo mede 13 cm, qual o perímetro do trapézio?
5. Numa círculo de 5 cm de raio calcule as medidas do lado e do apótema de um: triângulo equilátero inscrito; quadrado inscrito e hexágono regular inscrito.

Atividade 18 – Funções

1. Construa 2 seletores de intervalo de -10 à 10. Na entrada algébrica construa a reta y= ax+b. Movimente os seletores para ver o que acontece com o gráfico. Clique com o botão direito do mouse e habilite a função rastro, movimente os seletores.
2. Construa a reta y= 2x+1, com entrada algébrica. Construa sua perpendicular por qualquer ponto da reta. Compare as duas equações.
3. Qual a equação da paralela à reta y= -2x+5 passando pelo ponto P=(1,1)
4. Ache a equação da reta perpendicular à reta y= 3x-1 passando pelo ponto Q= (2,2)
5. Construa 3 seletores a, b e c de intervalo de -30 a 30. Na entrada algébrica construa y=ax²+bx+c. Crie um ponto na curva descrita. Habilite o rastro deste ponto.
6. Construa 4 seletores a, b, c e d, com intervalo -10 a 10. e na entrada algébrica construa a\*sen(bx+c)+d; a\*cos(bx+c)+d e a\*tan(bx+c) +d
7. Construa a círculo dada pela seguinte equação: (x-2)²+(y-3)²=2 , qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro?
8. Construa o círculo dada pela seguinte equação:(x+3)² + (y-4)²=5, qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro?
9. Tente mover as círculos construídas acima. Compare o que acontece.

Atividade 19 – Macros

1. Construa a macro para os seguintes pontos notáveis do Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro.

Atividade 20 – Extras

1. Construa dois círculos concêntricos, de centro (2, 1) e raios 2 e 5 respectivamente.
2. Determine o círculo de centro (3, 5) e raio 4, determine o círculo tangente a este de centro (5, 3). E um tangente a estes dois de raio 3.
3. Utilizando a ferramenta polígono construa um polígono qualquer, e determine suas bissetrizes e movimente os vértices dos polígonos.
4. Construa uma semi-reta, determine um segmento qualquer sobre esta semi-reta, construa um círculo de raio dependente a medida do segmento. Altere a medida do segmento e veja o que acontece com o círculo. Determine a medida do segmento, e a medida do raio do círculo, e compare estas medidas ao alterar o tamanho do segmento.
5. Exercício especial: Dada a figura (criar a figura no GeoGebra) com AC = BC, DC = EC, G ponto médio de DC, H ponto médio de EC, <ACE ≈ <BCD. Demonstre que AG = BH.
6. De um quadrado ABCD de lado 8 cm foram retirados quatro triângulos retângulos isósceles com catetos de 2 cm, um de cada vértice do quadrado. Qual é a área do octógono remanescente?
7. Sendo ABC um triângulo isósceles de base BC(segmento), M o ponto médio de BC(segmento), e <CAM = 35°, determine a medida de <ABC.
8. Em um triângulo ABC retângulo em A temos: M é ponto médio de BC(segmento), m(MÂC) = 30° e CM = 3 cm. Calcule o perímetro do triângulo ABM.
9. Um triângulo ABC, retângulo em A, possui um ângulo interno de 30°. Calcule a medida de um ângulo agudo formado pela altura e pela bissetriz interna, ambas relativas ao vértice A.
10. Um triângulo retângulo possui um ângulo interno de 40°. Determine a medida do ângulo agudo determinado pela mediana e pela altura, ambas relativas à hipotenusa.
11. Construa o Ciclo trigonométrico mostrando as funções sen, cos e tan. Você pode também localizar cotg, cossec e sec.
12. Construa a função modular de x, y=\|x\|, lembrando que na entrada algébrica função módulo é equivalente a abs(x). uma ideia interessante é construir a partir de seletores e verificar algumas alterações que ela sofre, como y= \|x+a\|