Análise real/Números inteiros

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Relação de equivalência no conjunto [editar | editar código-fonte]

A relação ~ em ao ser definida por:

é uma relação de equivalência se, e somente se for:

  • (reflexiva) :
  • (simétrica) :
  • (transitiva) :

Partição de [editar | editar código-fonte]

Podemos dividir o conjunto de em partições disjuntas cuja união é o próprio . Tome as partições da forma [1,n] ou [n,1]. Vamos usar a tricotomia entre 1 e n.

  • caso n=1, eles coincidem com
  • caso em que :
  • Assim podemos dizer que
  • De forma geral dizemos que o conjunto quociente:

Adição em [editar | editar código-fonte]

Ao somarmos dois elementos de , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

  • . Vamos definir A por:
    • .

Vamos mostrar que é uma relação bem definida.

  • Tome
    • Ex.
      • Assim podemos já resolver equações do 1º grau ao igualarmos qualquer elemento de para a sua forma mais resumida (1,1), (1,n),(n,1).
  • (exercício) Prove que , onde só haverá solução em se igualarmos a apenas um dos valores que y pode assumir.

Multiplicação em [editar | editar código-fonte]

Ao multiplicarmos dois elementos de , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

  • . Vamos definir A por:
    • .

Vamos mostrar que é uma relação bem definida.

  • Tome
    • ... (exercício)