Análise real/Exercícios 7

Problema 1

Considere a seguinte seqüência de funções $f_{n}:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} \,$ dada pela relação de recorrência:

${\begin{array}{l}f_{1}(x)=x\\f_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left[f(x)+{\frac {x}{f(x)}}\right]\,\end{array}}$

Mostre que:

• $f_{n}(x)\to {\sqrt {x}}$ pontualmente
• $f_{n}(x)\to {\sqrt {x}}$ uniformemente em cada intervalo $[a,b]\,$ contanto que $0<a<b\,$.
• a convergência não é uniforme em nenhum intervalo do tipo $(0,a)\,$ nem do tipo $(a,\infty )\,$ com $a>0\,$.

Problema 2

Considere a seqüência de funções indexada pelos índices $n\,$ e $m\,$:

• $f_{mn}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,$

Mostre que:

• $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{mn}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.$

Problema 3

Considere a seqüência de funções $f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R} \,$ definidas por:

• $f_{n}=\left\{{\begin{array}{ll}n^{2}x,&x\in [0,1/n]\\2n-n^{2}x,&x\in (1/n,2/n)\\0,&x\in [2/n,1]\end{array}}\right.$

Mostre que

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0\,$

não obstante

• $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1/2\,$

Problema 4

Defina $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,$ como:

• $f_{n}=\left\{{\begin{array}{ll}1/n,&x\in |x|<n\\0,&x\in |x|\geq n\\\end{array}}\right.$

Mostre que

• $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0\,$ uniformemente

não obstante

• $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=2\,$

Problema 5

Seja a seqüência de funções $f_{n}:[0,\infty )\to \mathbb {R} \,$ dada por:

• $f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n},&x\in [0,n]\\0,&x\in (n,\infty )\end{array}}\right.$

Mostre que:

• $0\leq f_{n}(x)\leq e^{-x}\,$
• $f_{n}(x)\to e^{-x}\,$ uniformemente em $[0,M]\,$ para cada $M>0\,$

Conclua, provando que:

• $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}=1\,$

Problema 6

Construa uma seqüência de funções contínuas em $[0,1]\,$ convergindo pontualmente para um função que não é integrável à Riemann.