Análise real/Exercícios 1

1. Prove que não existe um racional cujo quadrado é 2.
2. O conjunto dos reais é não-enumerável
   • (prova)
3. O conjunto dos racionais é um conjunto enumerável
   • a) Sabemos que se $\phi :\mathbb {N} \mapsto P$ é uma função bijetora, logo P é um conjunto enumerável
   1. • i) Então $\phi :1\times \mathbb {N} \mapsto P_{1}$ também é bijetora
      • ii) Assim $\forall a\in \mathbb {Z} ;\phi :a\times \mathbb {N} \mapsto P_{a}$ é bijetora
   • b) $\bigcup _{a=-\infty }^{\infty }\phi :a\times \mathbb {N} \mapsto P_{a};\Rightarrow \phi :\bigcup _{a=-\infty }^{\infty }a\times \mathbb {N} \mapsto \bigcup _{a=-\infty }^{\infty }P_{a}$
     • i) Sabemos que $\mathbb {Z} =\bigcup _{a=-\infty }^{\infty }a$. Basta mostrar que $\mathbb {Q} =\bigcup _{a=-\infty }^{\infty }P_{a}$ para que tenhamos a função $\phi :\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \mapsto \mathbb {Q}$ onde $\phi (a,b)={a \over b}$ bijetora
   • c) Seja $P_{a}=\left\{a/b{\mbox{ tal que }}b\in \mathbb {N} \right\}$.
     • i) Dessa forma $\bigcup _{a=-\infty }^{\infty }P_{a}=\mathbb {Q}$.
4. Mostre que o conjunto dos irracionais $\left(\mathbb {R} -\mathbb {Q} \right)$ é um conjunto infinito não-enumerável
   • a)Sabemos que o conjunto dos reais é não-enumerável e o conjunto dos racionais é enumerável
     • i) Sabemos também que a união de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável
   • b) É verdade que $\mathbb {R} =\mathbb {Q} \cup \left(\mathbb {R} -\mathbb {Q} \right)$
     • i) se $\left(\mathbb {R} -\mathbb {Q} \right)$ fosse enumerável $\mathbb {R}$ também seria (por ser união de enumeráveis)
     • ii) como $\mathbb {R}$ é não-enumerável, obrigatoriamente $\left(\mathbb {R} -\mathbb {Q} \right)$ é não-enumerável