Análise complexa/Topologia do plano complexo

Conjuntos abertos

Um conjunto $U\subseteq \mathbb {C} \,$ é dito aberto, se para todo ponto $z_{0}\in U\,$, existe um $\delta >0\,$ tal que $\left\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq \delta \right\}\subseteq U$.

O conjunto $\left\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq \delta \right\}$ é chamado de bola aberta centrada em $z_{0}\,$ de raio $\delta \,$ e é denotado por $B_{\delta }(z_{0})\,$.

Observação

A bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração
Seja $z_{0}\in B_{r}(z)\,$, escolha $\delta =r-|z-z_{0}|\,$, devemos mostrar que $B_{\delta }(z_{0})\subseteq B_{r}(z)\,$. Para tal seja $y\in B_{\delta }(z_{0})\,$, por definição tem-se: $|y-z_{0}|<\delta \,$ Logo: $|y-z|\leq |y-z_{0}|+|z_{0}-z|<\delta +(r-\delta )=r\,$ Assim, concluímos que $y\in B_{r}(z)\,$, o que completa a demonstração.

Propriedade dos conjuntos abertos

1. Os conjuntos $\mathbb {C}$ e $\emptyset \,$ são abertos.
2. A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
3. A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Conjuntos fechados

Um conjunto $F\subseteq \mathbb {C} \,$ é dito fechado se for o complementar de um conjunto aberto.

Propriedade dos conjuntos abertos

1. Os conjuntos $\mathbb {C}$ e $\emptyset \,$ são fechados.
2. A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
3. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Veja também

• Topologia