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- Definição
Uma função
onde
e
são espaços vetoriais sobre um corpo
é dita uma transformação linear se, para todos
e para todo
tem-se
![{\displaystyle \;T(u+v)=T(u)+T(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e58d35f30941e91a66ded3773a937ad85e8ce)
![{\displaystyle T(\lambda u)=\lambda \,T(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c76e00fb81625058c3513e923f729f4c0c4a63)
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a
. Seja
uma base de V e
vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear
.
Prova
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- T existe e está bem definida
- Dado
tal que . Podemos definir T em v como . Sendo uma base, tem-se a unicidade de e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor ao vetor . Vemos através da definição que .
- T é linear
- Tome
. Assim . Pela definição . De outro modo . Portanto .
- T é única
- Suponha que exista
, então se , então .
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A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere
, definida por
.
O valor de
em um ponto
pode ser reescrito da seguinte forma:
.
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores
e
, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de
. Como poderá ser verificado pelo leitor[1], estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de
.
- Definição
Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
![{\displaystyle Ker(T)=\{v\in V|T(v)=0\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6ba88af12e36e9eada2c782ce9bf695aeb1e59)
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
- Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
- Se
então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e ![{\displaystyle v+w\in Ker(T)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0110f23d32b83cb8d24014a4d7ebc874a65af2)
- Se
e
temos
logo
ou seja, ![{\displaystyle \lambda v\in Ker(T)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e34ffc826967b74f8fd1f6b29452617c855d21e)
Se
, e
- O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
e
- A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e
. Se
, então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Prova
- Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja
uma base do Ker(T). Existem vetores
com j=k+1,...,n onde
é uma base de V.
- Definindo a base da imagem:
Como
é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos
, mas
, pela definição de núcleo. Assim os vetores
geram a imagem de T(V).
- Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem
tal que
.
Tomemos
. Logo
. Como
.
Portanto
. Como
são L.I., então
.
- Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) = dim Im(T). Como
geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como
é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).
- Teorema (existência e unicidade)
Se V é um espaço vetorial de dimensão n e
é
uma base de V, então existe um único funcional f, tal que
e ![{\displaystyle \lambda _{i}\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c64ce320b5fa51f921fbb7e7e873aed04d84e2c)
- Teorema (base dual)
Se V é um espaço vetorial,
e
é uma base de V, então existe uma única base
de
tal que ![{\displaystyle f_{i}(v_{j})=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798141437eed08afc7c04ad56da2cdf700045915)
- Definição
é chamada de base dual de ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
é chamado de espaço dual de V
Corolários:
![{\displaystyle f=\sum f(v_{i})f_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9113bda05f9726cc77af5fb927727dab2ee6a65)
![{\displaystyle v=\sum f_{i}(v)v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6188bb815586b097c6d5f0c9bf85dcdff84a67)
- Teorema (representação dos funcionais lineares)
Sejam V um espaço vetorial sobre K,
com produto interno, e
um funcional linear. Então existe um único vetor
tal
que
![{\displaystyle \forall v\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c615ffa716e535cb309925b59943e80929444a9b)
Demonstra-se ainda que
Dizemos que T uma transformação linear,
é chamada operador linear de T sobre V.
- Definição
Seja V um espaço vetorial.
O operador adjunto,
de um determinado operador linear
é definido pela igualdade:
![{\displaystyle \langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc03a64796fc0b310866efffc0b1bf1dd15218c6)
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
![{\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ed6a63e2b5978e797b8edcb47916a9e961364b)
![{\displaystyle (\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df6f322f6834b5e4443599ef6e9fb937a7f16f7)
![{\displaystyle (S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2b669637be486027f80cd8894af8474430e83d)
- Proposição
Seja V um espaço vetorial sobre K,
com produto interno.
Seja
uma base ortonormal de V. Então
onde ![{\displaystyle a_{ij}=\langle T(e_{j}),e_{i}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8efd19adb394d9ee4bd6542cf4bffa11bb1e07)
- Corolário
Seja V um espaço vetorial sobre K,
com produto interno.
Então, para qualquer base
ortonormal de V, temos que
a matriz ![{\displaystyle [T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47f16c51040c5b062b1631d08aaed561c953467)
- Auto-adjunto (
)
- Unitário (
)
- Normal (
)
- Definição
é chamado de auto-adjunto se ![{\displaystyle T^{*}=T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a965faa180c82d0407b486240815a74defd247)
Uma matriz A é auto-adjunta se
- Se
é chamada simétrica.
- Se
é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
- Se
então ![{\displaystyle T=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9456a7c189a662f6fbfa0b30d1dd05274aadb246)
- Se V é complexo e
então ![{\displaystyle T=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9456a7c189a662f6fbfa0b30d1dd05274aadb246)
Prove:
- Se
e
então ![{\displaystyle T=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9456a7c189a662f6fbfa0b30d1dd05274aadb246)
- Seja
com V complexo. Então ![{\displaystyle T^{*}=T\iff \langle T(v),v\rangle \in R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8aea2a2f034788e5f42ebc44fad1ef559da530)
- Definição
é chamado de unitário se ![{\displaystyle T^{*}=T^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcfdad32e3770fa98c5b6f6fa76a91af9136e2e)
Uma matriz A é unitária se
Prove:
- T é unitário
(T preserva o produto interno)
- T é unitário
(T preserva a norma)
- T é unitário
é unitário
- Definição
é chamado de normal se ![{\displaystyle TT^{*}=T^{*}T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e76c3ce51069116d71350f647bb864c0fffe7d)
Uma matriz A é normal se
Prove:
- Todo operador auto-adjunto é normal
- Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
- Definição
W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador
se ![{\displaystyle T(W)\subset W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34fc887108661d3b8ac16557852300e5d517b2a)
Dizemos também que W é T-invariante.
Prove:
- Se W é T-invariante, então
é
-invariante.
- Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é
-invariante.
- Se W é T-invariante e T é inversível, então
![{\displaystyle T(W)=W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cebf52c0ad500b69bbb7aa78e24d36df55642a)
- Se W é T-invariante e T é inversível, então W é
-invariante e ![{\displaystyle T^{-1}(W)=W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0151c2bfa67ec4b0f2a316a9573857e107f060)
- Se W é T-invariante e T é unitário, então W é
-invariante (ou
-invariante).
- Se W é T-invariante e T é unitário, então
é T-invariante.
- ↑ Ver por exemplo no Wolfram Alpha