Álgebra linear/Transformações lineares

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Transformações Lineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

Uma função onde e são espaços vetoriais sobre um corpo é dita uma transformação linear se, para todos e para todo tem-se

Existência de uma transformação[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a . Seja uma base de V e vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .


Prova
  • T existe e está bem definida
    Dado tal que . Podemos definir T em v como . Sendo uma base, tem-se a unicidade de e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor ao vetor . Vemos através da definição que .
  • T é linear
    Tome . Assim . Pela definição . De outro modo . Portanto .
  • T é única
    Suponha que exista , então se , então .

Imagem de uma transformação linear[editar | editar código-fonte]

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere , definida por . O valor de em um ponto pode ser reescrito da seguinte forma:

.

Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores e , isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de . Como poderá ser verificado pelo leitor[1], estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de .

Núcleo[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:

Teorema do núcleo[editar | editar código-fonte]

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

  • Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
  • Se então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e
  • Se e temos logo ou seja,

Posto e nulidade[editar | editar código-fonte]

Se , e

  • O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).

e

  • A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

Teorema do posto e da nulidade[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e . Se , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

Prova

  • Definindo a base do núcleo e a base do espaço:

Seja uma base do Ker(T). Existem vetores com j=k+1,...,n onde é uma base de V.

  • Definindo a base da imagem:

Como é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos , mas , pela definição de núcleo. Assim os vetores geram a imagem de T(V).

  • Provando que os vetores são independentes:

Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem tal que .

Tomemos . Logo . Como .

Portanto . Como são L.I., então .

  • Definindo posto e nulidade:

O Posto(T) = dim Im(T). Como geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

Funcionais lineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

Uma função onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se, e


Teorema  (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que e


Teorema  (base dual)

Se V é um espaço vetorial, e é uma base de V, então existe uma única base de tal que

Definição

é chamada de base dual de
é chamado de espaço dual de V

Corolários:

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Teorema  (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K, com produto interno, e um funcional linear. Então existe um único vetor tal que

Demonstra-se ainda que

Operador linear[editar | editar código-fonte]

Dizemos que T uma transformação linear, é chamada operador linear de T sobre V.

Adjunto de um operador linear[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear é definido pela igualdade:

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K, com produto interno. Seja uma base ortonormal de V. Então onde


Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K, com produto interno. Então, para qualquer base ortonormal de V, temos que a matriz

Operadores especiais[editar | editar código-fonte]

  • Auto-adjunto ()
  • Unitário ()
  • Normal ()

Operador auto-adjunto[editar | editar código-fonte]

Definição

é chamado de auto-adjunto se

Uma matriz A é auto-adjunta se

  • Se é chamada simétrica.
  • Se é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se então
Se V é complexo e então

Prove:

  • Se e então
  • Seja com V complexo. Então

Operador unitário[editar | editar código-fonte]

Definição

é chamado de unitário se

Uma matriz A é unitária se


Prove:

  • T é unitário (T preserva o produto interno)
  • T é unitário (T preserva a norma)
  • T é unitário é unitário

Operador normal[editar | editar código-fonte]

Definição

é chamado de normal se

Uma matriz A é normal se

Prove:

  • Todo operador auto-adjunto é normal
  • Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

Subespaço invariante[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador se

Dizemos também que W é T-invariante.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Prove:

  • Se W é T-invariante, então é -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então W é -invariante e
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então W é -invariante (ou -invariante).
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então é T-invariante.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Ver por exemplo no Wolfram Alpha

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]