Álgebra linear/Polinômios
Aspeto
Álgebra linear
[editar | editar código-fonte]Seja A, uma álgebra linear sobre o corpo K, então A é um espaço vetorial com uma operação extra, que é multiplicação de vetores, que onde dois vetores u, v de A são levados ao vetor uv de A, que é o produto dos vetores u e v. As propriedades desse produto são:
- multiplicação é associativa: u(vw) = (uv)w.
- multiplicação é distributiva em relação à adição: u(v + w) = uv + uw(à esquerda) e (u + v)w = uw + vw(à direita).
- multiplicação por escalar: k(uv) = (ku)v = u(kv).
Extensões de uma álgebra linear
[editar | editar código-fonte]- com elemento unidade: se existir um elemento i em A, tal que iu = ui = u, para todo u em A
- comutativa: se uv = vu para todo u,v em A
Álgebra dos polinômios
[editar | editar código-fonte]Seja P[x] o espaço dos polinômios finitos, gerados pelos vetores , pata algum n inteiro qualquer. P[x] é um polinômio sobre o corpo K.
- Definição da elemento de P[x].
- onde .
- grau de p(x) em P[x]:
- , usando o p definido acima.
- coeficientes de p(x):
- são chamados os coeficientes do polinômio p(x).
- polinômio nulo:
- .
- polinômio não-nulo:
- .
- polinômio unitário:
- Se , então p(x) é unitário.
Teoremas
[editar | editar código-fonte]Propriedade do Grau do produto de polinômios
[editar | editar código-fonte]Sejam p, q em P[x]-{0} sobre K. Então:
- pq é um polinômio não-nulo.
- gr(pq)=gr(p)+gr(q).
- se p,q são unitários, então pq é unitário.
- pq é polinômio constante pq são polinômios constantes.
Ideais de polinômios
[editar | editar código-fonte]Lema
[editar | editar código-fonte]Sejam p,q em P[x]-{0} sobre K, onde . Logo existe r em P[x] tal que p-qr=0 ou gr(p-qr)<gr(p).