Saltar para o conteúdo

Álgebra linear/Polinômios

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.

Álgebra linear[editar | editar código-fonte]

Seja A, uma álgebra linear sobre o corpo K, então A é um espaço vetorial com uma operação extra, que é multiplicação de vetores, que onde dois vetores u, v de A são levados ao vetor uv de A, que é o produto dos vetores u e v. As propriedades desse produto são:

  • multiplicação é associativa: u(vw) = (uv)w.
  • multiplicação é distributiva em relação à adição: u(v + w) = uv + uw(à esquerda) e (u + v)w = uw + vw(à direita).
  • multiplicação por escalar: k(uv) = (ku)v = u(kv).

Extensões de uma álgebra linear[editar | editar código-fonte]

  • com elemento unidade: se existir um elemento i em A, tal que iu = ui = u, para todo u em A
  • comutativa: se uv = vu para todo u,v em A

Álgebra dos polinômios[editar | editar código-fonte]

Seja P[x] o espaço dos polinômios finitos, gerados pelos vetores , pata algum n inteiro qualquer. P[x] é um polinômio sobre o corpo K.

  • Definição da elemento de P[x].
    • onde .
  • grau de p(x) em P[x]:
    • , usando o p definido acima.
  • coeficientes de p(x):
    • são chamados os coeficientes do polinômio p(x).
  • polinômio nulo:
    • .
  • polinômio não-nulo:
    • .
  • polinômio unitário:
    • Se , então p(x) é unitário.

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Propriedade do Grau do produto de polinômios[editar | editar código-fonte]

Sejam p, q em P[x]-{0} sobre K. Então:

  • pq é um polinômio não-nulo.
  • gr(pq)=gr(p)+gr(q).
  • se p,q são unitários, então pq é unitário.
  • pq é polinômio constante pq são polinômios constantes.

Ideais de polinômios[editar | editar código-fonte]

Lema[editar | editar código-fonte]

Sejam p,q em P[x]-{0} sobre K, onde . Logo existe r em P[x] tal que p-qr=0 ou gr(p-qr)<gr(p).