Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas

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Formas bilineares[editar | editar código-fonte]

Definição

Uma função g do produto cartesiano (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, :

Matriz associada a uma forma bilinear[editar | editar código-fonte]

Sejam uma forma bilinear, e uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:

Então:

,

onde A é a matriz associada à forma bilinear g.

A matriz A é dada por:

onde

Formas bilineares simétricas[editar | editar código-fonte]

Definição

Uma forma bilinear é dita simétrica se

Proposição: é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.

Formas quadráticas[editar | editar código-fonte]

Definição

Dada uma forma bilinear simétrica , dizemos que a função , definida por , é a forma quadrática associada à forma bilinear g.

Note que:

Fórmulas de polarização[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas: