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- Definição
Uma função g do produto cartesiano
(onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se,
:
![{\displaystyle g(u+v,w)=g(u,w)+g(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a2d57777458ed9778d6af3ca55ef4b7ff58b36)
![{\displaystyle g(\lambda u,v)=\lambda g(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4c0a748d6aeecea2de583a87e67b20d9c7c232)
![{\displaystyle g(u,v+w)=g(u,v)+g(u,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb049e96b4d45152d5a39d80ab6d427a536ad77)
![{\displaystyle g(u,\lambda v)=\lambda g(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2d3afd481e2984fb12444df23b68dd0add5bb1)
Sejam
uma forma bilinear, e
uma base de V.
Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:
Então:
,
onde A é a matriz associada à forma bilinear g.
A matriz A é dada por:
onde
- Definição
Uma forma bilinear
é dita simétrica se ![{\displaystyle g(u,v)=g(v,u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7dda8d51f407334a58d5be0b0363dd4f055611)
Proposição:
é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.
Note que:
![{\displaystyle f(u+v)=f(u)+2g(u,v)+f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79be7f72708192e7564fe01f4e2e057ae55c46ea)
![{\displaystyle f(\lambda v)=\lambda ^{2}f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4c010445d26254ff077ed78e9f4599a9e1f52f)
As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas:
![{\displaystyle g(u,v)={\frac {1}{4}}\left(f(u+v)-f(u-v)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef915c927b54ec27f4777ab5296b3fd1982c59fc)
![{\displaystyle g(u,v)={\frac {1}{2}}\left(f(u+v)-f(u)-f(v)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bc91924e7dc9eccb21b71789162ca1ddb8cd13)