Álgebra linear/Autovetores

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Autovetores e autovalores[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo de V é dito um autovetor (ou vector próprio) de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor (ou valor próprio) de T.

Um significado prático:

  • Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
  • Para cada autovalor , podem existir vários autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor . Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.

Prove:

  • Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , e é um escalar não-nulo, então também é um autovetor associado a .
  • O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.

Autovetores de uma matriz quadrada[editar | editar código-fonte]

Definição

Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .

Polinômio característico[editar | editar código-fonte]

Definição

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.

Prove:

  • Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
  • Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .

Operador diagonalizável[editar | editar código-fonte]

Definição

Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.

Definição

Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .

Definição

Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).

Prove:

  • Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
  • Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
  • Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
  • Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
  • Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
  • Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
  • é T-invariante.
  • é -invariante.
  • Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
  • Se T é normal, então é T-invariante.