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Definição 1: Sejam dois monóides(ou grupos). Uma aplicação é chamada homomorfismo se, e somente se:
Definição 2: Um homomorfismo é dito
- monomorfismo se
- epimorfismo se
- isomorfismo se φ for inversível e sua inversa for um homomorfismo
Observação: no contexto da teoria dos grupos, basta mostrar:
- Seja tal que . Então φ é um homomorfismo.
- Prova:
- , logo
Outro resultado importante (para grupos) é que . A prova é imediata, pela unicidade do elemento inverso.
- Seja φ um homomorfismo em que . Então φ é um monomorfismo
- Prova:
- Sejam x e y elementos distintos tais que . Então x-1 ≠ y-1, logo 1 = x x-1≠ x y-1. Mas , o que prova (por redução ao absurdo) o resultado desejado.