Álgebra abstrata/Homomorfismo e automorfismo

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Homomorfismo[editar | editar código-fonte]

Definição 1: Sejam dois monóides(ou grupos). Uma aplicação é chamada homomorfismo se, e somente se:

Definição 2: Um homomorfismo é dito

  • monomorfismo se
  • epimorfismo se
  • isomorfismo se φ for inversível e sua inversa for um homomorfismo

Observação: no contexto da teoria dos grupos, basta mostrar:

  • Seja tal que . Então φ é um homomorfismo.
Prova:
, logo

Outro resultado importante (para grupos) é que . A prova é imediata, pela unicidade do elemento inverso.

  • Seja φ um homomorfismo em que . Então φ é um monomorfismo
Prova:
Sejam x e y elementos distintos tais que . Então x-1 ≠ y-1, logo 1 = x x-1≠ x y-1. Mas , o que prova (por redução ao absurdo) o resultado desejado.