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Álgebra abstrata/Exercícios resolvidos

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Exercícios resolvidos

1 - G. A. Miller, em 1904, definiu um grupo como um conjunto (não-vazio, um detale que ele esqueceu de mencionar) dotado de uma operação binária satisfazendo três propriedades:[1]

  • A associatividade
  • A lei do cancelamento, ou seja, se r s = t s ou se s r = s t, então r = t
  • A existência de uma solução para toda equação do tipo x y = z

Mostre que esta definição é equivalente à usual, ou seja, que um grupo tem estas três propriedades, e estas três propriedades implicam na existência do elemento neutro e do elemento inverso.

Demonstração:

Que um grupo tem estas três propriedades é imediato, por exemplo, se r s = t s então, como s tem elemento inverso, basta computar (r s) s-1 = (t s) s-1, aplicar a associatividade, a propriedade do elemento inverso e a propriedade do elemento neutro. Analogamente, para encontar uma solução de x y = z com y e z fixos, basta computar (x y) y-1 = z y-1.

Vamos agora supor que as três propriedades sejam válidas.

Se o conjunto não é vazio, então existe um elemento a. Portanto, as equações a x = a e x a = a tem soluções, respectivamente e1 e e2. Seja b um elemento qualquer do grupo. Então como, pela associatividade, podemos escrever sem ambiguidade a e1 b e b e2 a, que valem, respectivamente a (e1 b) = a b e (b e2) a = b a. Pela lei do cancelamento, então, e1 b = b e b e2 = b. Como estas propriedades valem para todo b, então valem, respectivamente, para b = e1 e b = e2, o que permite concluir que e1 e2 = e1 = e2. Chamando este elemento simplesmente de e, demonstramos a existência do elemento neutro.

A existência do elemento inverso é imediata para todo elemento a, como solução das equações a x = e e x a = e. Basta provar que ele é único, o que é imediato ao calcular a2 a a1, para, respectivamente, as soluções de a x = e e x a = e.

Referências

  1. G. A. Miller, What is Group Theory?, publicado em Popular Science, edição de fevereiro de 1904, p.371 [google groups]