Álgebra abstrata/Exercícios resolvidos

Exercícios resolvidos

1 - G. A. Miller, em 1904, definiu um grupo como um conjunto (não-vazio, um detale que ele esqueceu de mencionar) dotado de uma operação binária satisfazendo três propriedades:

• A associatividade
• A lei do cancelamento, ou seja, se r s = t s ou se s r = s t, então r = t
• A existência de uma solução para toda equação do tipo x y = z

Mostre que esta definição é equivalente à usual, ou seja, que um grupo tem estas três propriedades, e estas três propriedades implicam na existência do elemento neutro e do elemento inverso.

Demonstração:

Que um grupo tem estas três propriedades é imediato, por exemplo, se r s = t s então, como s tem elemento inverso, basta computar (r s) s^-1 = (t s) s^-1, aplicar a associatividade, a propriedade do elemento inverso e a propriedade do elemento neutro. Analogamente, para encontar uma solução de x y = z com y e z fixos, basta computar (x y) y^-1 = z y^-1.

Vamos agora supor que as três propriedades sejam válidas.

Se o conjunto não é vazio, então existe um elemento a. Portanto, as equações a x = a e x a = a tem soluções, respectivamente e₁ e e₂. Seja b um elemento qualquer do grupo. Então como, pela associatividade, podemos escrever sem ambiguidade a e₁ b e b e₂ a, que valem, respectivamente a (e₁ b) = a b e (b e₂) a = b a. Pela lei do cancelamento, então, e₁ b = b e b e₂ = b. Como estas propriedades valem para todo b, então valem, respectivamente, para b = e₁ e b = e₂, o que permite concluir que e₁ e₂ = e₁ = e₂. Chamando este elemento simplesmente de e, demonstramos a existência do elemento neutro.

A existência do elemento inverso é imediata para todo elemento a, como solução das equações a x = e e x a = e. Basta provar que ele é único, o que é imediato ao calcular a₂ a a₁, para, respectivamente, as soluções de a x = e e x a = e.