Topologia/Sequências
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[editar] Base-de-filtro
Num conjunto X, diz-se que um conjunto B de partes de X é uma base-de-filtro se, e somente se:
1) Ø ∉ B;
2) Para A, B ∈ B, existe C ∈ B tal que C ⊆ A ∩ B.
[editar] Aderência e convergência
Dados dois conjuntos X com um conjunto A de partes X e Y com um conjunto de B de partes de Y, dada uma função f: X → Y, pode-se perguntar se, dado A ∈ A, f[A] tem alguma relação com os elementos de B ou se, dado B ∈ B, f-1[B] tem alguma relação com os elementos de A. Considere-se os casos:
1) Diz-se que f é A, B mensurável sse, para todos os B ∈ B, f-1[B] é um elemento de A.
2) Diz-se que f é A, B aderente sse, para todos os B ∈ B e A ∈ A, vem que f[A] intersecta B.
3) Diz-se que f é A, B convergente sse, para todos os B ∈ B, existe A ∈ A tal que f[A] ⊆ B.
4) É evidente que, se A, B são bases-de-filtro, vem que f ser A, B convergente implica f ser A, B aderente.
[editar] Composição de funções aderentes e convergentes
Sejam X, A; Y, B e Z, C conjuntos com bases-de-filtro e f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:
1) Se f é aderente e g convergente, então g ○ f é aderente.
2) Se f é convergente e g convergente, então g ○ f é convergente.
[editar] Carácter local da aderência e da convergência
Sejam X, A e Y, B conjuntos com bases-de-filtro. Seja Z ∈ A e C = {Z ∩ A: A ∈ A}, que é uma base-de-filtro em Z. Sejam f: X → Y e g: Y → Z funções. Então:
1) f é A, B aderente (resp. convergente) sse f│Z é C, B aderente (resp. convergente).
2) g: Y → X é B, A aderente (resp. convergente) sse g: Y → Z é B, C aderente (resp. convergente).
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