Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

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[editar] Monóide livre gerado por um conjunto

Sejam $V$ um espaço vectorial e $v_1,\ldots,v_n$ uma base de $V$ . Dado qualquer espaço vectorial $W$ e quaisquer elementos $w_1,\ldots,w_n \in W$ , existe uma aplicação linear $\varphi : V \rightarrow W$ tal que $\forall i \in \{1,\ldots,n\}, \, \varphi(v_i) = w_i$ . Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos $v_1,\ldots,v_n$ de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De facto, se, por exemplo, tivéssemos a relação $v 1 = λ v 2$ para algum escalar $λ$ (e então $v_1,\ldots,v_n$ já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear $\varphi$ podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo $G$ gerado por um conjunto $X = \{x_i : i \in I\} \subseteq G$ e dados um qualquer grupo $H$ e um qualquer conjunto $Y = \{y_i : i \in I\} \subseteq H$ , existirá sempre um morfismo de grupos $\varphi : G \rightarrow H$ tal que $\forall i \in I, \, \varphi(x_i) = y_i$ ? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo $G = \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que é gerado pelo conjunto $X = {1}$ , o grupo $Y = \mathbb{R}$ (com a operação de adição) e o conjunto $Y = {2}$ . Se existisse um morfismo de grupos $\varphi : \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\varphi(1) = y$ , então $2n = n \varphi(1) = \varphi(n \, 1) = \varphi(0) = 0$ , o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido $G = \mathbb{Z}$ , então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por $\varphi(t) = 2t$ . De facto, dado qualquer grupo $H$ e qualquer $y \in H$ , temos um morfismo de grupos $\varphi : \mathbb{Z} \rightarrow H$ definido por $\varphi(t) = y^t$ (em notação multiplicativa) que verifica $\varphi(1) = y$ . De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto $X = \{1\} \subseteq \mathbb{Z}$ (que gera $\mathbb{Z}$ ) não verificam relações como $n x = 1$ (como $\mathbb{Z}_n$ ) ou $x y = y x$ . Portanto, parece que $\mathbb{Z}$ é um grupo mais "livre" do que $\mathbb{Z}_n$ .

O nosso objectivo nesta secção vai ser, dado um conjunto $X$ , construir um grupo gerado pelo conjunto $X$ e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como $x n = 1$ ou $x y = y x$ . Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" $X$ , onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação $x_1 \ldots x_n$ que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras $x_1 \ldots x_n$ onde $x_1,\ldots,x_n$ são letras do alfabeto $X$ . Segue-se a definição formal deste monóide.

Definição Seja $X$ um conjunto.

Denotamos os $n$ -uplos $(x_1,\ldots,x_n)$ (com $x_1,\ldots,x_n \in X$ e $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ ) por $x_1 \ldots x_n$ .
Denotamos $()$ , isto é, $(x_1,\ldots,x_n)$ com $n = 0$ , por $1$ .
Denotamos por $F M (X)$ o conjunto $\{x_1 \ldots x_n : n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \, \wedge \, x_1,\ldots,x_n \in X \}$ .
Definimos em $F M (X)$ a operação de concatenação $*$ por $x_1 \ldots x_m * y_1 \ldots y_n = x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n$ .

De seguida provamos que este monóide é efectivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.

Proposição $(F M (X), * )$ é um monóide com elemento neutro $1$ .

Demonstração A operação $*$ é associativa porque, dados $x_1 \ldots,x_m,y_1 \ldots,y_n,z_1 \ldots z_p \in FM(X)$ quaisquer temos

$(x_1 \ldots x_m * y_1 \ldots y_n) * z_1 \ldots z_m = x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n * z_1 \ldots z_m =$ $x_1 \ldots x_m y_1 \ldots y_n z_1 \ldots z_m = x_1 \ldots x_m * (y_1 \ldots y_n z_1 \ldots z_m) = x_1 \ldots x_m ( y_1 \ldots y_n * z_1 \ldots z_m)$ .

É óbvio que $(F M (X), * )$ tem elemento neutro $1$ . $\square$

Seguindo a ideia de que o monóide $(F M (X), * )$ é o monóide mais "livre" gerado por $X$ , vamos chamar-lhe monóide livre gerado por $X$ .

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por $X$ .

Exemplos

Seja $X = {x}$ . Então $FM(X) = \{1,x,xx,xxx,\ldots\}$ e, por exemplo, $x x * x x x = x x x x x$ .
Seja $X = {x, y, z}$ . Então $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz \in FM(X)$ e, por exemplo, $x x x * y x z = x x x y x z$ .

[editar] Grupo livre gerado por um conjunto

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto $X$ . Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide $F M (X)$ os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto $\bar X$ equipotente a $X$ , escolher uma bijecção de $X$ em $\bar X$ e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de $X$ e os elementos de $\bar X$ . Então encaramos o elemento $x_1 \ldots x_n \in FM(X)$ (com $x_1,\ldots,x_n \in X$ ) como tendo o elemento $\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ (com $\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n} \in X$ ) como inverso, onde os $x_1,\ldots,x_n \in X$ estão associados a $\overline{x_1} \ldots \overline{x_n}$ , respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em $\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ está "invertida" porque o inverso do produto $x_1 \ldots x_n = x_1 * \cdots * x_n$ tem de ser $x_n^{-1} * \cdots * x_1^{-1}$ , e os $x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}$ serão, respectivamente, os $\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n}$ . A forma de fazemos com que $\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ seja o inverso de $x_1 \ldots x_n$ é tomar uma relação de congruência $R$ que identifica $x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ com $1$ , e passar $FM(X \cup \bar X)$ ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, $[u]_R \star [v]_R = [u * v]_R$ ). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar $x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ com $1$ , pois no quociente temos a igualdade $[x_1 \ldots x_n \overline{x_n} \ldots \overline{x_1}]_R = [1]_R$ . Passemos então à definição formal.

Definição Seja $X$ um conjunto. Tomemos um outro conjunto $\overline{X}$ equipotente a $X$ e disjunto de $X$ e seja $f : X \rightarrow \overline{X}$ uma aplicação bijectiva.

Para cada $x \in X$ denotemos $f (x)$ por $\bar x$ , para cada $x \in \overline{X}$ denotemos $f - 1 (x)$ por $\bar x$ e para cada $x_1 \ldots x_n \in FM(X \cup \overline{X})$ denotemos $\overline{x_n} \ldots \overline{x_1}$ por $\overline{x_1 \ldots x_n}$ .
Seja $R$ a relação de congruência em $FM(X \cup \overline{X})$ gera por $G = \{(u * \bar u,1) : u \in X \cup \overline{X}\}$ , isto é, $R$ é a intersecção de todas as relações de congruência em $FM(X \cup \overline{X})$ que contêm $G$ . Denotamos o conjunto quociente $FM(X \cup \overline{X})/R$ por $F G (X)$ .

Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento $[u]_R \in FG(X)$ simplesmente por $u$ .

Uma vez que a operação $[u]_R \star [v]_R = [u * v]_R$ que queremos definir em $FM(X \cup \bar X)/R$ está definida à custa de representantes particulares $u$ e $v$ das classes de equivalência $[u] R$ e $[v] R$ , um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.

Lema Seja $X$ um conjunto. Fica bem definida em $F G (X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_R \star [v]_R = [u_r * v_r]_R$ (onde $R$ é a relação de congruência de definição anterior).

Demonstração Sejam $u,u',v,v' \in FM(X)$ quaisquer tais que $[u] R = [u'] R$ e $[v] R = [v'] R$ , isto é, $u R u'$ e $v R v'$ . Por $R$ se relação de congruência em $FM(X \cup \bar X)$ , temos $u * v R u' * v'$ , isto é, $[u * v] R = [u' * v'] R$ . $\square$

Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.

Definição Seja $X$ um conjunto. Definimos em $F G (X)$ a operação binária $\star$ por $[u]_R \star [v]_R = [u_r * v_r]_R$ .

Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efectivamente um grupo.

Proposição Seja $X$ um conjunto. $(FG(X),\star)$ é um grupo com elemento neutro $[1] R$ e onde $\forall [u]_R \in FG(X), \, {[u]_R}^{-1} = [\bar u]_R$ .

Demonstração

$(FG(X),\star)$ é associativo porque $\forall [u]_R,[v]_R,[w]_R \in FG(X), \, ([u]_R \star [v]_R) \star [w]_R = ([u * v]_R) \star [w]_R = [(u * v) * w]_R =$ $[u * (v * w)]_R = [u]_R \star [v * w]_R = [u]_R \star ([v]_R \star [w]_R).$
Vejamos que $[1] R$ é elemento neutro de $(FG(X),\star)$ . Seja $[u]_R \in FG(X)$ qualquer. Temos $[u]_R \star [1]_R = [u * 1]_R = [u]_R$ e, analogamente, $[1]_R \star [u]_R = [u]_R$ .
Seja $[u]_R \in FG(X)$ qualquer e vejamos que $[u]_R \star [\bar u]_R = [1]_R$ . Temos $[u]_R \star [\bar u]_R = [u * \bar u]_R$ e, por definição de $R$ , $u * \bar u R 1$ , isto é, $[u * \bar u]_R = [1]_R$ , logo $[u]_R \star [\bar u]_R = [1]_R$ e, analogamente, $[\bar u]_R \star [u]_R = [1]_R$ . $\square$

Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto $X$ vamos chamar grupo livre gerado por $X$ .

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao grupo $(FG(X),\star)$ chamamos grupo livre gerado por $X$ .

Exemplo Seja $X = {x}$ . Escolhamos um qualquer conjunto $\bar X = \{y\}$ disjunto (e equipotente) de $X$ . Seja $f : X \rightarrow \bar X$ uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de $X$ em $\bar X$ . Então denotamos $f (x) = y$ por $\bar x$ e denotamos $f - 1 (y) = x$ por $\bar y$ . Passamos a encarar $x$ e $y$ como elementos inversos. Seja $R$ a relação de congruência de $FM(X \cup \bar X)$ gerada por $G = \{(1,1),(x \bar x,1),(xx \bar x \bar x,1),\ldots\}$ . $FG(X) = FM(\{x,\bar x\})$ é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto $\{[x]_R,[\bar x]_R\}$ . Por exemplo, $[1]_R,[x]_R,[\bar x]_R,[xx\bar x xx]_R \in FG(X)$ .

Temos $G \subseteq R$ e, por exemplo, $(xx \bar x,1) \in R$ , pois de $(x\bar x,1) \in G \subseteq R$ (logo $x \bar x R 1$ ) e de $R$ ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação $x \bar x R 1$ e obter $xx \bar x R x$ . Encaramos $x \bar x R 1$ como significando que em $F G (X)$ temos $xx \bar x = x$ (em rigor, $[xx \bar x]_R = [1]_R$ ), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um $x$ "anular-se" com $\bar x$ em $xx \bar x$ .

Dado $u \in FM(X \cup \bar X)$ , denotemos o número exacto de vezes que a "letra" $x$ ocorre em $u$ por $| u | x$ e denotemos o número exacto de vezes que a "letra" $\bar x$ ocorre em $u$ por $|u|_\bar x$ . Então "cortando" $x$ 's com $\bar x$ 's ficamos com uma palavra reduzida com $|u|_x - |u|_\bar x$ vezes a letra $x$ (se $|u|_x - |u|_\bar x < 0$ , entendamos que não há letras $x$ e fica $-(|u|_x - |u|_\bar x)$ vezes a letra $\bar x$ ). Denotemos este número $|u|_x - |u|_\bar x$ por $|u|_{x - \bar x}$ . Temos

$[u] R = [v] R$ se e só se $|u|_{x - \bar x} = |v|_{x - \bar x}$ e
$\forall [u]_R,[v]_R \in FG(X), \, |uv|_{x - \bar x} = |u|_{x - \bar x} + |v|_{x - \bar x}$ .

Assim, cada elemento $[u]_R \in FG(X)$ fica determinado pelo número inteiro $|u|_{x - \bar x}$ e o produto $\star$ de dois elementos $[u]_R,[v]_R \in FG(X)$ corresponde à soma dos seus inteiros associados $|u|_{x - \bar x}$ e $|v|_{x - \bar x}$ . Assim, parece que o grupo $(FG(X),\star)$ é "semelhante" a $(\mathbb{Z},+)$ . Com efeito $(FG(X),\star)$ é isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ e a aplicação $|\cdot|_{x - \bar x} : FG(X) \rightarrow \mathbb{Z}$ é um isomorfismo de grupos.

[editar] Apresentação de um grupo

Informalmente, parece que $\mathbb{Z}_n$ é obtido do grupo "livre" $\mathbb{Z}$ impondo a relação $n x = 1$ . Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto $X$ que gera um grupo $G$ que queremos criar e de um conjunto de relações $R$ (tais como $x n = 1$ ou $x y = y z$ ) que os elementos de $G$ devem verificar e obtemos o grupo $G / R$ gerado por $G$ e que verifica as relações $R$ . Mais precisamente, escrevemos cada relação $u = v$ na forma $u v - 1 = 1$ (por exemplo, $x y = y x$ escreve-se na forma $x y x - 1 y - 1 = 1$ ) e encaramos $u v - 1$ como uma "palavra" de $F G (X)$ . Como $R$ não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de $G$ , não podemos considerar o quociente $F G (X) / R$ , pelo que consideramos o quociente $F G (X) / R$ onde $N$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $R$ . Em $G / N$ , vamos ter $u v - 1 N = 1 N$ , o que encaramos como significando que em $G / N$ os elementos $u v - 1$ e $1$ são o mesmo. Assim, $F G (X) / N$ vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por $X$ (mais precisamente, por $\{xN : x \in X\}$ ). Formalizamos de seguida esta ideia.

Definição Seja $G$ um grupo. Chamamos apresentação de $G$ , e denotamos por $< X : R >$ , a um par ordenado $(X, R)$ onde $X$ é um conjunto, $R \subseteq FG(X)$ e $G \simeq FG(X)/N$ , onde $N$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $R$ . Numa apresentação $< X : R >$ , a $X$ chamamos conjunto gerador e a $R$ chamamos conjunto das relações.

Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre $F G (X)$ e dos grupos $\mathbb{Z}_n$ , $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ , $\mathbb{Z}_m \oplus \mathbb{Z}_n$ e $S 3$ . Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.

Exemplos

Seja $X$ um conjunto. $<X:{\emptyset}>$ é uma apresentação de $F G (X)$ porque $FG(X) \simeq FG(X)/\{1\}$ , onde ${1}$ é o subgrupo normal de $F G (X)$ gerado por $\emptyset$ . Em particular, $<\{x\}:\emptyset >$ é uma apresentação de $(\mathbb{Z},+) \simeq FG(\{x\})$ , mais usualmente denotada por $<x:\emptyset>$ . Outra apresentação de $(\mathbb{Z},+)$ é $< {x, y}:{x y - 1} >$ , mais usualmente denotada por $< x, y : x y - 1 >$ . Informalmente, na apresentação $< x, y : x y - 1 >$ introduzimos um novo elemento $y$ no conjunto gerador, mas depois impomos a relação $x y - 1 = 1$ , isto é, $x = y$ , o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido $y$ e ter ficado pela apresentação $<x:\emptyset>$ .
Seja $X = {x}$ . $< X :{x n} >$ (onde $x^n = x \star \cdots \star x \in FG(X)$ $n$ vezes) é uma apresentação de $\mathbb{Z}_n$ . Com efeito, o subgrupo de $F G (X)$ gerado por ${x n}$ é $N = \{\ldots,\bar{x}^{2n},\bar{x}^n,1,x^n,x^{2n},\ldots\} \simeq n\mathbb{Z}$ e $FG(X) \simeq \mathbb{Z}$ , logo $\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq FG(X)/N$ . É mais usual denotar $< {x}:{x n} >$ por $< x : x n >$ .
Sejam $X = {x, y}$ (com $x$ e $y$ distintos) e $R = {x y x - 1 y - 1}$ . $< X : R >$ é uma apresentação de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ . Informalmente, o que fazemos é impor em $F G (X)$ que haja comutatividade, isto é, $x y = y x$ , ou seja, $x y x - 1 y - 1 = 1$ , obtendo um grupo isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ . É mais usual denotar $< {x, y}:{x y x - 1 y - 1} >$ por $< x, y : x y x - 1 y - 1 >$ .
Sejam $X = {x, y}$ e $R = {x y x - 1 y - 1, x m, y n}$ . $< X, R >$ é uma apresentação de $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ . Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda $x m = 1$ e $x n = 1$ para obtermos $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ em vez de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ . É mais usual denotar $< {x, y}:{x y x - 1 y - 1, x m, y n} >$ por $< x, y : x y x - 1 y - 1, x m, y n >$ .
$< {a, b, c}:{a a, b b, c c, a b a c, c b a b} >$ , mais usualmente escrito $< a, b, c : a 2, b 2, c 2, a b a c, c b a b >$ , é uma apresentação de $S 3$ , o grupo das permutações de ${1,2,3}$ com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação $< a, b, c : a 2, b 2, c 2, a b a c, c b a b >$ tem exactamente seis elementos $i d$ , $a$ , $b$ , $c$ , $a$ , $a b$ e $a c$ , e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de $S 3$ . Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação $< a, b, c : a 2, b 2, c 2, a b a c, c b a b >$ tem exactamente os elementos $i d$ , $a$ , $b$ , $c$ , $a$ , $a b$ e $a c$ porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações $a 2 = b 2 = c 2 = a b a c = c b a b = 1$ não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como $b c$ são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de $c b a b = i d$ temos $c b = a b$ , e tomando inversos de ambos os membros, temos $b - 1 c - 1 = b - 1 a - 1$ , que, usando $a 2 = b 2 = c 2 = i d$ , isto é, $a = a - 1$ , $b = b - 1$ e $c = c - 1$ , resulta em $b c = b a$ ). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, $a (a b) = b$ porque temos a relação $a 2 = 1$ . Outro exemplo: temos $b (a c) = a$ porque podemos multiplicar ambos os membros da relação $a b a c = i d$ por $a$ e então usar $a 2 = i d$ . Podíamos ter suspeitado desta representação tomando $a = (1 \ 2)$ , $b = (1 \ 3)$ e $c = (2 \ 3)$ e depois, tentando construir a tabela de Cayley de $S 3$ , descoberto que tal era possível se soubéssemos que $a 2 = b 2 = c 2 = a b a c = c b a b = 1$ .

$\times$	$i d$	$a$	$b$	$c$	$a b$	$a c$
$i d$	$i d$	$a$	$b$	$c$	$a b$	$a c$
$a$	$a$	$i d$	$a b$	$a c$	$b$	$c$
$b$	$b$	$a c$	$i d$	$a b$	$c$	$a$
$c$	$c$	$a b$	$a c$	$i d$	$a$	$b$
$a b$	$a b$	$c$	$a$	$b$	$a c$	$i d$
$a c$	$a c$	$b$	$c$	$a$	$i d$	$a b$

É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.

Teorema Sejam $(G,\times)$ um grupo.

A aplicação $\varphi : FG(G) \rightarrow G$ definida por $\varphi([x_1]_R \star \cdots \star [x_n]_R) = x_1 \times \cdots \times x_n$ (onde $x_1,\ldots,x_n \in G$ ) é um epimorfismo de grupos.
$<G:\textrm{ker} \, \varphi>$ é uma apresentação de $(G,\times)$ .

Demonstração

$\varphi$ está bem definida porque todo o elemento de $F G (X)$ tem uma representação única na forma $[x_n] \star \cdots [x_n]_R$ com $x_1,\ldots,x_n \in G$ , a menos de $[1] R$ surgir várias vezes na representação, o que não afecta o valor de $x_1 \times \cdots \times x_n$ . Sejam $[x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R,[y_1]_R \star \cdots \star [y_n]_R \in FG(X)$ quaisquer, onde $x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n \in G$ . Temos $\varphi(([x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R) \star ([y_1] \star \cdots \star [y_n]_R)) = (x_1 \times \cdots \times x_m) \times (y_1 \times \cdots \times y_n) =$ $\varphi([x_1]_R \star \cdots \star [x_m]_R) \times \varphi([y_1]_R \star \cdots \star [y_n]_R)$ , logo $\varphi$ é morfismo de grupos. Como $\forall x \in G, \, \varphi ([x]_R) = x$ , então $G$ é epimorfismo de grupos.
Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos $FG(G)/\textrm{ker} \, \varphi \simeq \varphi(G) = G$ , logo $<G:\textrm{ker} \, \varphi>$ é uma apresentação de $(G,\times)$ . $\square$

O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo $G$ , não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador $G$ é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações $\mathrm{ker} \, \varphi$ é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de $F G (G)$ , quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado).

Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

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