Teoria dos conjuntos/Cardinalidade

O conceito de cardinalidade é a forma rigorosa de comparar o tamanho dos conjuntos.

Intuitivamente, dois conjuntos tem o mesmo tamanho quando é possível colocar seus elementos em correspondência. Rigorosamente, isto é feito através de funções bijetivas.

Neste capítulo representaremos $A \sim B\,$ quando A e B tiverem o mesmo tamanho.

Definição

Define-se $A \sim B\,$ quando existe uma função bijetiva $f: A \to B\,$.

Segue-se imediatamente da existência da função inversa (demonstrada no capítulo do Axioma da potência) que se $A \sim B\,$ então $B \sim A\,$.

Diz-se também que A e B são equipotentes, que A e B tem a mesma cardinalidade ou, menos formalmente, que A e B tem o mesmo número de elementos.

Propriedades

Segue imediatamente de propriedades de funções bijetivas que:

$A \sim A\,$ - basta usar a função identidade em A

$A \sim B \implies B \sim A\,$ - porque a função inversa de uma função bijetiva existe e é uma função bijetiva

$A \sim B \land B \sim C \implies A \sim C\,$ - porque a composta de funções bijetivas é uma função bijetiva