Teoria dos conjuntos/Números ordinais

Nos capítulos anteriores foram apresentados os ordinais segundo von Neumann, e foram exibidas e demonstradas várias propriedades. Este capítulo sintetiza os resultados anteriores e apresenta novos resultados.

Ordinais

Conforme visto no capítulo Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união, um ordinal segundo von Neumann é um conjunto α satisfazendo:

• Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
• Esta relação satisfaz $\forall x, y \in \alpha, ((x,y) \in R \iff x \in y)\,$
• Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja, $\forall x \in \alpha, (x \subseteq \alpha))\,$

Classificação dos ordinais

Vimos até agora dois tipos de ordinal:

• $\varnothing\,$ - o conjunto vazio
• s(α) - o sucessor de um outro ordinal

Um terceiro tipo de ordinal, ordinal limite, é definido como um ordinal que não é nem o conjunto vazio nem o sucessor de outro ordinal. Ainda não vimos se existe, mas, se existir, este ordinal tem uma propriedade notável:

• Seja α um ordinal limite. Então $\alpha = \bigcup_{x \in \alpha} x\,$.

Prova: já vimos anteriormente que $\bigcup_{x \in \alpha} x\,$ é um ordinal (ver Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união). É imediato verificar que $\bigcup_{x \in \alpha} x \subseteq \alpha\,$. Suponha, portanto, que $\bigcup_{x \in \alpha} x \subset \alpha\,$, então mostraremos que α é um ordinal sucessor, o que completa a prova.

Mas se $\bigcup_{x \in \alpha} x \subset \alpha\,$, então temos que existe um elemento $\beta \in \alpha\,$ tal que $\beta \not\in \bigcup_{x \in \alpha} x\,$. Mas vimos anteriormente (ver Axioma da potência) que $\beta \in \alpha \implies (s(\beta) = \alpha \lor s(\beta) \in \alpha)\,$, Neste caso, $s(\beta)\,$ não pode ser elemento de α, portanto α = s(β).

A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal α em que $\alpha = \bigcup_{x \in \alpha} x\,$, então obviamente α não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que $\bigcup_{x \in s(\alpha)} x \subset s(\alpha)\,$, pois α é um elemento de s(α) mas não é um elemento de algum elemento de s(α)), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.

A boa ordenação dos ordinais

O que foi visto até agora permite escrever as seguintes propriedades:

$Ord(\alpha) \land Ord(\beta) \implies (\alpha \in \beta \lor \alpha = \beta \lor \beta \in \alpha)\,$

$Ord(\alpha) \land Ord(\beta) \implies (\alpha \in \beta \iff \alpha \subset \beta)\,$

Por definição, se S for um conjunto não-vazio de ordinais contido em algum outro ordinal, então S possui elemento mínimo (considerando a relação de ordem total definida por $x \in y\,$).

Este fato pode ser generalizado: se S for um conjunto não-vazio de ordinais, então S tem um elemento mínimo.

Na verdade, podemos generalizar ainda mais: se Φ(x) for uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos através de uma fórmula bem formada, e existir algum ordinal α que satisfaça Φ(α), então existe um ordinal μ que é mínimo para Φ(x), ou seja, que, qualquer que seja x satisfazendo Φ(x) temos que x = μ ou $\mu \in x\,$.

Informalmente, costuma-se dizer que uma propriedade Φ(x) que pode valer ou não valer conforme o conjunto x define uma classe; existem outras apresentações da teoria dos conjuntos em que o conceito de classe faz parte da teoria. Este teorema, então, diz que uma classe não-vazia de ordinais tem um elemento mínimo.

Note-se que este não é apenas um teorema: é um esquema de teoremas, e para cada fórmula Φ(x) temos uma nova versão do teorema.

Prova: suponha que a fórmula Φ(x) seja satisfeita para os ordinais α e β.

Então vamos formar os conjuntos (bem definidos, pelo Axioma da extensão):

$S_A = \{ x \in s(\alpha) \ | \ \Phi(x) \}\,$

$S_B = \{ x \in s(\beta) \ | \ \Phi(x) \}\,$

Estes conjuntos são subconjuntos não-vazios de ordinais (por exemplo, $\alpha \in S_A \subseteq s(\alpha)\,$), logo podemos tomar seus mínimos

$a = \min_{s(\alpha)} S_A\,$

$b = \min_{s(\beta)} S_B\,$

Afirmação: a = b.

Prova: sem perda de generalidade, se a ≠ b, suponhamos que $a \in b\,$. Neste caso, como $b \in s(\beta)\,$, pela transitividade, $a \in s(\beta)\,$, ou seja, $a \in S_B\,$, contradizendo o fato de b ser mínimo.

Ou seja, se a fórmula Φ(x) é satisfeita por qualquer ordinal, então o mínimo de Φ(x) existe e não depende do ordinal escolhido, ou seja, ele existe e é único.