Probabilidade e Estatística/Espaços amostrais finitos

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[editar] Construindo probabilidades em espaços amostrais finitos

Vamos começar agora, na prática, a calcular probabilidades de eventos. Consideremos o espaço amostral $\mathcal{S} \!\;$ finito. É o caso mais simples, e a partir dele poderemos desenvolver as idéias da seção anterior. Assim, podemos considerar:

$\mathcal{S} = \left \{ x_1, x_2, x_3, ...,x_n \right \} \!\;$

Já observamos anteriormente que $\Psi \!\;$ é uma classe formada por todos os subconjuntos de $\mathcal{S} \!\;$ . Precisamos contruir $\mathcal{P} \!\;$ , uma probabilidade definida em $\Psi \!\;$ . Vamos começar observando que, $\forall \mathit{i} = 1, ..., \mathit{n}$ , com $\mathit{n} \in \mathbb{N}$ , se $\left \{ x_\mathit{i} \right \}$ é um evento do espaço amostral $\mathcal{S} \!\;$ , então podemos definir a probabilidade de $\left \{ x_\mathit{i} \right \}$ ocorrer como um número $\mathit{p}_\mathit{i} \in \mathbb{R}$ tal que $P \left ( \left \{ x_\mathit{i} \right \} \right) = \mathit{p}_\mathit{i}$ .

Podemos notar que $\mathcal{S} = \bigcup_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}} \left \{ x_\mathit{i} \right \}$ .

Além disso, o $\mathit{p}_\mathit{i} \!\;$ deve ser escolhido de modo que $0 \le \mathit{p}_\mathit{i} \le 1$ , pois, como já vimos, uma probabilidade possui valores sempre entre $0 \!\;$ e $1 \!\;$ .

De modo que:

$\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}} \mathit{p}_\mathit{i} = \sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}} P \left ( \left \{ x_\mathit{i} \right \} \right) = P \left ( \mathcal{S} \right ) = 1$ .

Ou seja, a soma de todos os $\mathit{p}_\mathit{i} \!\;$ corresponde à probabilidade do espaço amostral, que já vimos ser igual a $1 \!\;$ .

Agora, consideremos um evento qualquer $\mathcal{A} = \left \{ x_{\mathit{i}_1}, x_{\mathit{i}_2},... , x_{\mathit{i}_\mathit{k}} \right \} \subset \mathcal{S}$ , com $\mathit{k} \in \mathbb{N}$ . Temos que $\mathcal{A} = \bigcup_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}} \left \{ x_{\mathit{i_\mathit{j}}}\right \}$ , ou seja, a união de todos os $\left \{ x_{\mathit{i_\mathit{j}}}\right \}$ constitui um evento $\mathcal{A} \!\;$ , que por sua vez é subconjunto do espaço amostral $\mathcal{S} \!\;$ .

De modo que as probabilidades $\mathit{p}_\mathit{i} \!\;$ devem satisfazer:

$P \left ( A \right ) = \sum_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}} P \left ( \left \{ x_{\mathit{i}_\mathit{j}} \right \} \right) = \sum_{\mathit{j}=1}^{\mathit{k}} \mathit{p}_{\mathit{i}_\mathit{j}}$ .

Ou seja, a probabilidade do evento $\mathcal{A} \!\;$ ocorrer deve ser a soma das probabilidades de todos os elementos escolhidos ao acaso $\left \{ x_{\mathit{i}_\mathit{j}} \right \}$ que compõem o conjunto $\mathcal{A} \!\;$ .

Precisamos, ainda, tornar mais precisa a expressão "escolher ao acaso". Para tanto, consideremos $\mathit{n} \!\;$ objetos. Quando afirmamos que escolhemos ao acaso um dos $\mathit{n} \!\;$ objetos, isto significa que cada um dos objetos teve a mesma chance de ser escolhido.

Se os resultados particulares do evento $\mathcal{S} = \left \{ x_1, x_2, x_3, ...,x_n \right \} \!\;$ são igualmente prováveis, ou seja, $\mathit{p}_1 = \mathit{p}_2 = ... = \mathit{p}_n = \mathit{p} \!\;$ , decorre que:

$1 = \mathit{np} \to p = \frac{1}{n}$

No caso do evento $\mathcal{A} = \left \{ x_{\mathit{i}_1}, x_{\mathit{i}_2},... , x_{\mathit{i}_\mathit{k}} \right \} \subset \mathcal{S}$ qualquer, temos:

$P \left ( A \right ) = \frac{k}{n}$ .

Tal modo de enunciar $P \left ( A \right ) \!\;$ é frequentemente encontrado da seguinte forma:

$P \left ( A \right ) = \frac{\mathrm{n\acute{u}mero\ de\ casos\ favor\acute{a}veis\ a\ A}}{\mathrm{n\acute{u}mero\ total\ de\ casos\ poss\acute{i}veis}} \!\;$

Entretanto, a expressão acima não serve como definição geral de probabilidade. Ela é somente uma consequência do fato de que todos os resultados do evento são equiprováveis, e só deve ser usada quando isto acontecer.

[editar] Exemplos

Consideremos um escritório formado por uma população distribuída da seguinte forma:
- 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos;
- 4 pessoas são homens maiores de 30 anos;
- 5 pessoas são mulheres menores de 30 anos;
- 4 pessoas são homens menores de 30 anos.

Escolhemos uma pessoa do escritório, ao acaso. Dados os eventos

$\mathcal{A} = \left \{\mathrm{escolher\ pessoa\ menor\ de\ 30\ anos} \right \}\!\;$

$\mathcal{B} = \left \{\mathrm{escolher\ pessoa\ maior\ de\ 30\ anos} \right \}\!\;$

$\mathcal{C} = \left \{\mathrm{escolher\ uma\ mulher} \right \} \!\;$

$\mathcal{D} = \left \{\mathrm{escolher\ um\ homem} \right \} \!\;$

calcule as probabilidades $P \left ( \mathcal{B} \cup \mathcal{C} \right ) \!\;$ e $P \left ( \mathcal{A}^c \cap \mathcal{D}^c \right ) \!\;$ .

Nota: Utilizaremos o símbolo $\sharp \!\;$ sucedido de um conjunto para denotar o número de elementos do conjunto.

Inicialmente, vamos procurar saber qual o número de elementos de cada conjunto. Podemos notar que $\sharp \mathcal{S} = 16 \!\;$ , $\sharp \mathcal{A} = 9 \!\;$ , $\sharp \mathcal{B} = 7 \!\;$ , $\sharp \mathcal{C} = 8 \!\;$ e $\sharp \mathcal{D} = 8 \!\;$ .

Assim, torna-se possível descobrir a probabilidade de ocorrência de cada evento, a saber:

$P \left ( \mathcal{A} \right ) = \frac{9}{16}$ , $P \left ( \mathcal{B} \right ) = \frac{7}{16}$ , $P \left ( \mathcal{C} \right ) = \frac{8}{16}$ , $P \left ( \mathcal{D} \right ) = \frac{8}{16}$ .

Queremos saber $P \left ( \mathcal{B} \cup \mathcal{C} \right ) \!\;$ , o que corresponde à probabilidade de escolher ou uma pessoa maior de 30 anos, ou uma mulher. Calculando:

$P \left ( \mathcal{B} \cup \mathcal{C} \right ) = P \left ( \mathcal{B} \right ) + P \left ( \mathcal{C} \right ) - P \left ( \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \right ) = \frac{7}{16} + \frac{8}{16} - P \left ( \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \right ) \!\;$

$P \left ( \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \right ) \!\;$ significa a probabilidade de escolher uma pessoa maior de 30 anos e mulher. Do próprio enunciado, sabemos que 3 pessoas são mulheres maiores de 30 anos, então $P \left ( \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \right ) = \frac{3}{16} \!\;$ . Portanto,

$P \left ( \mathcal{B} \cup \mathcal{C} \right ) = \frac{12}{16}$

Para calcular $P \left ( \mathcal{A}^c \cap \mathcal{D}^c \right ) \!\;$ , basta perceber que $\mathcal{A}^c = \mathcal{B} \!\;$ e que $\mathcal{D}^c = \mathcal{C} \!\;$ . Daí tiramos que $P \left ( \mathcal{A}^c \cap \mathcal{D}^c \right ) = P \left ( \mathcal{B} \cap \mathcal{C} \right ) = \frac{3}{16} \!\;$ , conforme calculamos anteriormente.