Probabilidade e Estatística/Análise combinatória

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Índice 1 Análise Combinatória 1.1 Princípios básicos de contagem 1.1.1 Princípio da Adição 1.1.2 Princípio da Multiplicação 1.2 Permutação Simples 1.3 Arranjo 1.4 Combinação simples 1.5 Permutação com objetos repetidos

[editar] Análise Combinatória

[editar] Princípios básicos de contagem

[editar] Princípio da Adição

Suponhamos um procedimento executado em fases. A fase 1 tem maneiras de ser executada, a fase 2 possui maneiras de ser executada e a fase tem modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem maneiras de ser realizado.

Exemplo

Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.

[editar] Princípio da Multiplicação

Suponhamos um procedimento executado em fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem maneiras de ser executada, a fase 2 possui maneiras de ser executada e a fase tem modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há maneiras de executar o procedimento.

Exemplo

Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.

Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação.

• Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar?

Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo . Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.

Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:

• 1º algarismo: 9 possibilidades ;
• 2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo;
• 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).

Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo.

Sem fixar o zero, temos:

• 3º algarismo: 4 possibilidades
• 1º algarismo: 8 possibilidades , excluindo a escolha feita para o último algarismo;
• 2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.

Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.

Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número.

[editar] Permutação Simples

1. Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 3,4,5,6,7,8 e 9?

1º algarismo: 7 possibilidades ;

2º algarismo: 6 possibilidades ;

3º algarismo: 5 possibilidade  ;

4º algarismo: 4 possibilidade  ;

Então é simples, basta multiplicar-se as possibilidades.

7.6.5.4 = 840 formas de escrever um número de quatro algarismos distintos.

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[editar] Arranjo

[editar] Combinação simples

[editar] Permutação com objetos repetidos