Matemática elementar/Trigonometria/Arcos e ângulos

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Índice

[editar] Circunferência

Seja O \,\! um ponto qualquer do plano e r>0 \,\! um número real. A circunferência de centro O \,\! e raio r \,\! é o lugar geométrico dos pontos P \,\! desse plano tais que PO = r \,\!.

Circ1.png


Veja no Wikicionário círculo.

[editar] Arco de circunferência

Consideremos uma circunferência \lambda\,\! de centro O \,\!. Sejam A \,\! e B \,\! dois pontos distintos de \lambda\,\!.

Circ6.png

Um arco de circunferência de extremos A \,\! e B \,\! (\widehat{A B}) é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando A \equiv B teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Circ7.png

[editar] Arco de circunferência e ângulo central correspondente

med(A \widehat{O} B) = \alpha


A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (\ ^\circ \,\!), o radiano ( rad \,\!) e o grado, sendo este último não muito comum.

[editar] O grau

Hypotenusa.png

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a \frac{1}{360} da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é 360^\circ .

Submúltiplos do grau
  • O minuto ( ^\prime ) : 1^\prime = \frac{1}{60}\cdot 1^\circ , ou seja, 1^\circ = 60^\prime .
  • O segundo ( ^{\prime\prime} ) : 1^{\prime\prime} = \frac{1}{60}\cdot 1^\prime , ou seja, 1^\prime = 60^{\prime\prime} e 1^\circ = 3600^{\prime\prime} .

[editar] O radiano

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).





Conseqüentemente, para medir um ângulo a \widehat{O} b em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento l \,\! do arco pelo raio r \,\!, ou seja, calcular quantos radianos mede o arco \widehat{AB}. Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:


\alpha = \frac{l}{r} , onde l \,\! e r \,\! devem estar na mesma unidade de comprimento.


O comprimento de uma circunferência de raio r \,\! é 2 \pi r \,\!. Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi rad \approx 6,283184 . Para converter unidades, podemos usar as correspondências 180^\circ = \pi rad ou 360^\circ = 2 \pi rad e uma regra de três simples.

[editar] O grado

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a \frac{1}{400} da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações 180^\circ = \pi rad = 200 gr ou 360^\circ = 2\pi rad = 400 gr e uma regra de três simples.

[editar] O ciclo trigonométrico

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares x O y \,\!, em que O = \left (0,0 \right )\,\!. Seja uma circunferência \lambda\,\! de centro O \left (0,0 \right )\,\!, raio r = 1 \,\! e o ponto A \left (1,0 \right )\,\!.

Figura3.png

A cada número real \alpha\,\! associaremos um único ponto P \,\! de \lambda\,\!.

  • Se \alpha = 0 \,\!, então tomamos P = A \,\!;
  • Se \alpha > 0 \,\!, realizamos, a partir de A \,\!, um percurso de comprimento \alpha\,\!, no sentido anti-horário e marcamos o ponto P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa5.png
  • Se \alpha < 0 \,\!, realizamos, a partir de A \,\!, um percurso de comprimento - \alpha\,\!, no sentido horário, e marcamos o ponto P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa6.png

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto A \left (1,0 \right )\,\! como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

Yhvyvczsa7.png

O ponto P \,\! é chamado imagem de \alpha\,\! no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares x O y \,\! divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Yhvyvczsa4.png

[editar] Ângulos côngruos

Os ângulos \alpha \,\! e \beta \,\!, em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, \alpha - \beta = k\cdot360^\circ \,\!, para algum k \in \mathbb{Z}\,\!, ou seja, se \alpha \,\! e \beta \,\! têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que \alpha \,\! e \beta \,\! são côngruos escrevemos \alpha \equiv \beta \,\!.

Por exemplo, os ângulos 90^\circ \,\! e 450^\circ \,\! são congruentes, pois 450^\circ - 90^\circ = 360^\circ \,\!.

[editar] Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares x O y \,\! e uma circunferência \lambda \,\! de centro O \,\! e raio r = 1 \,\!. Sendo um ponto qualquer pertencente à \lambda \,\! a imagem de um ângulo \alpha\,\! na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Yhvyvczsa8.png

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto A \,\! dar-se-á por 0^\circ + n\cdot360^\circ = n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou 0^\circ + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!, sendo n \,\! o número de voltas completas. Quando n > 0 \,\!, deve-se andar no sentido anti-horário; se n < 0 \,\!, deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

  • Para B \,\!: 90^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para C \,\!: 180^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \pi + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para D \,\!: 270^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{3\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para A \,\! ou C \,\!: 0^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou 0^\circ + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para B \,\! ou D \,\!: 90^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2} + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para A \,\! ou B \,\! ou C \,\! ou D \,\!: 0^\circ + n\cdot90^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou 0^\circ + n\cdot\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z} \,\!.


Arco5.png

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em A \,\! ou B \,\! é:

  • \alpha \,\! em graus: \alpha + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  • \alpha \,\! em radianos: \alpha + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

Expressão geral dos arcos que têm imagem em A \,\!:

  • \alpha \,\! em graus: \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  • \alpha \,\! em radianos: \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!


No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

Arco6.png
  • \alpha \,\! em graus: \pm \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  • \alpha \,\! em radianos: \pm \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

[editar] Imagens de alguns arcos importantes

  • Primeira volta no sentido anti-horário:

Arco1.png Arco2.png

[editar] Ângulos correspondentes

  • Em graus:

Center

  • Em radianos:

Center

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