Matemática elementar/Trigonometria/Arcos e ângulos

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Circunferência[editar | editar código-fonte]

Seja  O \,\! um ponto qualquer do plano e  r>0 \,\! um número real. A circunferência de centro  O \,\! e raio  r \,\! é o lugar geométrico dos pontos  P \,\! desse plano tais que  PO = r \,\!.

Circ1.png

Veja no Wikicionário círculo.

Arco de circunferência[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma circunferência \lambda\,\! de centro  O \,\!. Sejam  A \,\! e  B \,\! dois pontos distintos de \lambda\,\!.

Circ6.png

Um arco de circunferência de extremos  A \,\! e  B \,\! (\widehat{A B}) é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando  A \equiv B teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Circ7.png

Arco de circunferência e ângulo central correspondente[editar | editar código-fonte]

med(A \widehat{O} B) = \alpha

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (\ ^\circ \,\!), o radiano ( rad \,\!) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grau[editar | editar código-fonte]

Hypotenusa.png

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a \frac{1}{360} da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é  360^\circ .

Submúltiplos do grau
  • O minuto  ( ^\prime ) :  1^\prime = \frac{1}{60}\cdot 1^\circ , ou seja,  1^\circ = 60^\prime .
  • O segundo  ( ^{\prime\prime} ) :  1^{\prime\prime} = \frac{1}{60}\cdot 1^\prime , ou seja,  1^\prime = 60^{\prime\prime} e  1^\circ = 3600^{\prime\prime} .

O radiano[editar | editar código-fonte]

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).

Conseqüentemente, para medir um ângulo  a \widehat{O} b em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento  l \,\! do arco pelo raio  r \,\!, ou seja, calcular quantos radianos mede o arco \widehat{AB}. Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:

\alpha = \frac{l}{r} , onde  l \,\! e  r \,\! devem estar na mesma unidade de comprimento.

O comprimento de uma circunferência de raio  r \,\! é  2 \pi r \,\!. Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi rad \approx 6,283184 . Para converter unidades, podemos usar as correspondências  180^\circ = \pi rad ou  360^\circ = 2 \pi rad e uma regra de três simples.

O grado[editar | editar código-fonte]

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a \frac{1}{400} da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações  180^\circ = \pi rad = 200 gr ou  360^\circ = 2\pi rad = 400 gr e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\!, em que  O = 	\left (0,0 \right )\,\!. Seja uma circunferência \lambda\,\! de centro  O \left (0,0 \right )\,\!, raio  r = 1 \,\! e o ponto  A \left (1,0 \right )\,\!.

Figura3.png

A cada número real \alpha\,\! associaremos um único ponto  P \,\! de \lambda\,\!.

  • Se \alpha = 0 \,\!, então tomamos  P = A \,\!;
  • Se \alpha > 0 \,\!, realizamos, a partir de  A \,\!, um percurso de comprimento \alpha\,\!, no sentido anti-horário e marcamos o ponto  P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa5.png
  • Se \alpha < 0 \,\!, realizamos, a partir de  A \,\!, um percurso de comprimento  - \alpha\,\!, no sentido horário, e marcamos o ponto  P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa6.png

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto  A \left (1,0 \right )\,\! como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

Yhvyvczsa7.png

O ponto  P \,\! é chamado imagem de \alpha\,\! no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\! divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Yhvyvczsa4.png

Ângulos côngruos[editar | editar código-fonte]

Os ângulos \alpha \,\! e \beta \,\!, em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, \alpha - \beta = k\cdot360^\circ \,\!, para algum k \in \mathbb{Z}\,\!, ou seja, se \alpha \,\! e \beta \,\! têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que \alpha \,\! e \beta \,\! são côngruos escrevemos \alpha \equiv \beta \,\!.

Por exemplo, os ângulos 90^\circ \,\! e 450^\circ \,\! são congruentes, pois 450^\circ - 90^\circ = 360^\circ \,\!.

Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..[editar | editar código-fonte]

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\! e uma circunferência \lambda \,\! de centro  O \,\! e raio  r = 1 \,\!. Sendo um ponto qualquer pertencente à \lambda \,\! a imagem de um ângulo \alpha\,\! na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Yhvyvczsa8.png

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto  A \,\! dar-se-á por  0^\circ + n\cdot360^\circ = n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!, sendo  n \,\! o número de voltas completas. Quando  n > 0 \,\!, deve-se andar no sentido anti-horário; se  n < 0 \,\!, deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

  • Para  B \,\!:  90^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  C \,\!:  180^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \pi + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  D \,\!:  270^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{3\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  A \,\! ou  C \,\!:  0^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  B \,\! ou  D \,\!:  90^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2}  + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  A \,\! ou  B \,\! ou  C \,\! ou  D \,\!:  0^\circ + n\cdot90^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
Arco5.png

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em  A \,\! ou  B \,\! é:

  •  \alpha \,\! em graus:  \alpha + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \alpha + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

Expressão geral dos arcos que têm imagem em  A \,\!:

  •  \alpha \,\! em graus:  \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

Arco6.png
  •  \alpha \,\! em graus:  \pm \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \pm \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

Primeira determinação positiva[editar | editar código-fonte]

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.

Por exemplo, os ângulos (em graus) -15o, 315o, 2115o, -2505o são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315o.

Analogamente, os ângulos (em radianos) -\frac{18 \pi}{5}\,, \frac{12 \pi}{5}\, e \frac{72 \pi}{5}\, são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo \frac{2 \pi}{5}\,.

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:

  1. dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360o ou 2 \pi\,, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
  2. se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
  3. tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
  4. somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360o ou 2 \pi\,, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)

Exemplos:

  1. Se o ângulo inicial é -580o
    1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
    3. Trocar o sinal -> 2
    4. Somar -580o com 2 x 360o -> 140o
  2. Se o ângulo inicial é 8 \pi\,
    1. Dividir 8 \pi\, por 2 \pi\, -> 4
    2. Sendo inteiro, manter -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar 8 \pi\, com (-4) (2 \pi)\, -> 0
  3. Se o ângulo inicial é \frac{97}{11} \pi\,
    1. Dividir \frac{97}{11}\pi\, por 2 \pi\, -> \frac{97}{22}\, ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar \frac{97}{11} \pi\, com (-4) (2 \pi)\, -> \frac{9}{11} \pi\,

Imagens de alguns arcos importantes[editar | editar código-fonte]

  • Primeira volta no sentido anti-horário:

Arco1.png Arco2.png

Ângulos correspondentes[editar | editar código-fonte]

  • Em graus:

Center

  • Em radianos:

Center

Exercícios[editar | editar código-fonte]