Matemática elementar/Trigonometria/Arcos e ângulos

Circunferência

Seja $O\,\!$ um ponto qualquer do plano e $r>0\,\!$ um número real. A circunferência de centro $O\,\!$ e raio $r\,\!$ é o lugar geométrico dos pontos $P\,\!$ desse plano tais que $PO=r\,\!.$

Veja no Wikicionário círculo.

Arco de circunferência

Consideremos uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\,\!.$ Sejam $A\,\!$ e $B\,\!$ dois pontos distintos de $\lambda \,\!.$

Um arco de circunferência de extremos $A\,\!$ e $B\,\!$ $({\widehat {AB}})$ é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando $A\equiv B$ teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Arco de circunferência e ângulo central correspondente

$med(A{\widehat {O}}B)=\alpha$

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau ($\ ^{\circ }\,\!$), o radiano ($rad\,\!$) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grau

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a ${\frac {1}{360}}$ da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é $360^{\circ }.$

Submúltiplos do grau

• O minuto $(^{\prime }):$ $1^{\prime }={\frac {1}{60}}\cdot 1^{\circ },$ ou seja, $1^{\circ }=60^{\prime }.$

• O segundo $(^{\prime \prime }):$ $1^{\prime \prime }={\frac {1}{60}}\cdot 1^{\prime },$ ou seja, $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$ e $1^{\circ }=3600^{\prime \prime }.$

O radiano

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).

Conseqüentemente, para medir um ângulo $a{\widehat {O}}b$ em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento $l\,\!$ do arco pelo raio $r\,\!,$ ou seja, calcular quantos radianos mede o arco ${\widehat {AB}}.$ Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:

$\alpha ={\frac {l}{r}},$ onde $l\,\!$ e $r\,\!$ devem estar na mesma unidade de comprimento.

O comprimento de uma circunferência de raio $r\,\!$ é $2\pi r\,\!.$ Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é ${\frac {2\pi r}{r}}=2\pi rad\approx 6,283184.$ Para converter unidades, podemos usar as correspondências $180^{\circ }=\pi rad$ ou $360^{\circ }=2\pi rad$ e uma regra de três simples.

O grado

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a ${\frac {1}{400}}$ da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações $180^{\circ }=\pi rad=200gr$ ou $360^{\circ }=2\pi rad=400gr$ e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométrico

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!,$ em que $O=\left(0,0\right)\,\!.$ Seja uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\left(0,0\right)\,\!,$ raio $r=1\,\!$ e o ponto $A\left(1,0\right)\,\!.$

A cada número real $\alpha \,\!$ associaremos um único ponto $P\,\!$ de $\lambda \,\!.$

• Se $\alpha =0\,\!,$ então tomamos $P=A\,\!;$

• Se $\alpha >0\,\!,$ realizamos, a partir de $A\,\!,$ um percurso de comprimento $\alpha \,\!,$ no sentido anti-horário e marcamos o ponto $P\,\!$ como final desse percurso.

• Se $\alpha <0\,\!,$ realizamos, a partir de $A\,\!,$ um percurso de comprimento $-\alpha \,\!,$ no sentido horário, e marcamos o ponto $P\,\!$ como final desse percurso.

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto $A\left(1,0\right)\,\!$ como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

O ponto $P\,\!$ é chamado imagem de $\alpha \,\!$ no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!$ divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Ângulos côngruos

Os ângulos $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!,$ em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, $\alpha -\beta =k\cdot 360^{\circ }\,\!,$ para algum $k\in \mathbb {Z} \,\!,$ ou seja, se $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!$ têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que $\alpha \,\!$ e $\beta \,\!$ são côngruos escrevemos $\alpha \equiv \beta \,\!.$

Por exemplo, os ângulos $90^{\circ }\,\!$ e $450^{\circ }\,\!$ são congruentes, pois $450^{\circ }-90^{\circ }=360^{\circ }\,\!.$

Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares $xOy\,\!$ e uma circunferência $\lambda \,\!$ de centro $O\,\!$ e raio $r=1\,\!.$ Sendo um ponto qualquer pertencente à $\lambda \,\!$ a imagem de um ângulo $\alpha \,\!$ na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto $A\,\!$ dar-se-á por $0^{\circ }+n\cdot 360^{\circ }=n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!,$ sendo $n\,\!$ o número de voltas completas. Quando $n>0\,\!,$ deve-se andar no sentido anti-horário; se $n<0\,\!,$ deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

• Para $B\,\!:$ $90^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {\pi }{2}}+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

• Para $C\,\!:$ $180^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $\pi +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

• Para $D\,\!:$ $270^{\circ }+n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {3\pi }{2}}+n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

• Para $A\,\!$ ou $C\,\!:$ $0^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

• Para $B\,\!$ ou $D\,\!:$ $90^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou ${\frac {\pi }{2}}+n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

• Para $A\,\!$ ou $B\,\!$ ou $C\,\!$ ou $D\,\!:$ $0^{\circ }+n\cdot 90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$ ou $0^{\circ }+n\cdot {\frac {\pi }{2}},\ n\in \mathbb {Z} \,\!.$

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em $A\,\!$ ou $B\,\!$ é:

• $\alpha \,\!$ em graus: $\alpha +n\cdot 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

• $\alpha \,\!$ em radianos: $\alpha +n\cdot \pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

Expressão geral dos arcos que têm imagem em $A\,\!:$

• $\alpha \,\!$ em graus: $\alpha +n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

• $\alpha \,\!$ em radianos: $\alpha +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

• $\alpha \,\!$ em graus: $\pm \alpha +n\cdot 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

• $\alpha \,\!$ em radianos: $\pm \alpha +n\cdot 2\pi ,\ n\in \mathbb {Z} \,\!$

Primeira determinação positiva

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.

Por exemplo, os ângulos (em graus) -15^o, 315^o, 2115^o, -2505^o são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315^o.

Analogamente, os ângulos (em radianos) $-{\frac {18\pi }{5}}\,$, ${\frac {12\pi }{5}}\,$ e ${\frac {72\pi }{5}}\,$ são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo ${\frac {2\pi }{5}}\,$.

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:

1. dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360^o ou $2\pi \,$, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
2. se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
3. tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
4. somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360^o ou $2\pi \,$, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)

Exemplos:

1. Se o ângulo inicial é -580^o
   1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
   2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
   3. Trocar o sinal -> 2
   4. Somar -580^o com 2 x 360^o -> 140^o
2. Se o ângulo inicial é $8\pi \,$
   1. Dividir $8\pi \,$ por $2\pi \,$ -> 4
   2. Sendo inteiro, manter -> 4
   3. Trocar o sinal -> -4
   4. Somar $8\pi \,$ com $(-4)(2\pi )\,$ -> 0
3. Se o ângulo inicial é ${\frac {97}{11}}\pi \,$
   1. Dividir ${\frac {97}{11}}\pi \,$ por $2\pi \,$ -> ${\frac {97}{22}}\,$ ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
   2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
   3. Trocar o sinal -> -4
   4. Somar ${\frac {97}{11}}\pi \,$ com $(-4)(2\pi )\,$ -> ${\frac {9}{11}}\pi \,$

Imagens de alguns arcos importantes

• Primeira volta no sentido anti-horário:

Ângulos correspondentes

• Em graus:

• Em radianos:

Exercícios

• Exercícios