Análise real/Espaços métricos

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Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função d:X^2\to \mathbf{R}\, chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:

  • d(x,y)\, é um número real, não negativo e finito
  • d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y
  • d(x,y)=d(y,x)\, (simetria)
  • d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) (desigualdade triangular)

[editar] Exemplos

  • O espaço vetorial euclidiano (\R^n,d), onde d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}, é um espaço vetorial de dimensão n\,
    • É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no \R^n\,. Outras métricas são:
    • d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\max(|y_1-x_1|, \cdots , |y_n-x_n|)
    • d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=|y_1-x_1|+\cdots+|y_n-x_n|
  • (X,d)\,, onde d(x,y)= \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{se }x=y \\ 1, & \mbox{se }x\neq y \end{matrix} \right. é denominado de espaço métrico discreto.
  • Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

[editar] Convergência em espaços métricos

Diz-se que uma sequência de pontos x_n\in X\, converge para um ponto x\in X\, se e somente se:

\lim_{n\to\infty}d(x,x_n)=0\,

Diz-se que uma sequência de pontos x_n\in X\, é de Cauchy se para todo \varepsilon>0\,, existe um N tal que

d(x_n,x_m)<\varepsilon, \forall n,m>N\,

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.

Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.

Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico é um espaço métrico completo.


[editar] Ver também

Espaço métrico (topologia)

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