Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas

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Álgebra linear

Índice

1 Formas bilineares
- 1.1 Matriz associada a uma forma bilinear
- 1.2 Formas bilineares simétricas
2 Formas quadráticas
- 2.1 Fórmulas de polarização

[editar] Formas bilineares

Definição

Uma função g do produto cartesiano $V \times V \rightarrow K$ (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, $\forall u, v, w \in V, \lambda \in K$ :

$g (u + v, w) = g (u, w) + g (v, w)$
$g (λ u, v) = λ g (u, v)$
$g (u, v + w) = g (u, v) + g (v, w)$
$g (u,λ v) = λ g (u, v)$

Exemplos

Produto interno em um espaço vetorial real;
$f: V \times V \rightarrow K$ , tal que $f(u,v) = 0, \forall u, v \in V$ .

Contra-exemplos

Produto interno em um espaço vetorial complexo;
$f: V \times V \rightarrow K$ , tal que $f(u,v) = 3, \forall u, v \in V$ ;

[editar] Matriz associada a uma forma bilinear

Sejam $g: V \times V \rightarrow K$ uma forma bilinear, e $\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:

$X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

Então:

$g(X, Y) = X^t A Y \,$ ,

onde A é a matriz associada à forma bilinear g.

A matriz A é dada por:

$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$

onde $a_{ij} = f(v_i, v_j) \,$

[editar] Formas bilineares simétricas

Definição

Uma forma bilinear $g: V \times V \rightarrow K$ é dita simétrica se $g (u, v) = g (v, u)$

Proposição: $g: V \times V \rightarrow K$ é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.

[editar] Formas quadráticas

Definição

Dada uma forma bilinear simétrica $g: V \times V \rightarrow K$ , dizemos que a função $f: V \rightarrow K$ , definida por $f (v) = g (v, v)$ , é a forma quadrática associada à forma bilinear g.

Note que:

$f (u + v) = f (u) + 2 g (u, v) + f (v)$
$f (λ v) = λ 2 f (v)$

[editar] Fórmulas de polarização

As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas:

$g(u, v) = \frac{1}{4}\left(f(u+v) - f(u-v)\right)$
$g(u, v) = \frac{1}{2}\left(f(u+v) - f(u) -f(v)\right)$

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[editar] Formas bilineares

[editar] Matriz associada a uma forma bilinear

[editar] Formas bilineares simétricas

[editar] Formas quadráticas

[editar] Fórmulas de polarização

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