Álgebra linear/Autovetores

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Álgebra linear

Índice

1 Autovetores e autovalores
2 Autovetores de uma matriz quadrada
3 Polinômio característico
4 Operador diagonalizável

[editar] Autovetores e autovalores

Definição

Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo $v$ de V é dito um autovetor (ou vector próprio) de T se existir um $\lambda \in K$ tal que $T (v) = λ v$ . Neste caso, $λ$ é dito autovalor (ou valor próprio) de T.

Um significado prático:

Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
Para cada autovalor $λ$ , podem existir vários autovetores $v$ tais que $T (v) = λ v$ . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor $λ$ . Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.

Prove:

Se v é um autovetor de T associado ao autovalor $λ$ , e $a \in K\,$ é um escalar não-nulo, então $a v$ também é um autovetor associado a $λ$ .
O conjunto $V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}$ é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que $V λ$ é o conjunto de todos os autovetores associados a $λ$ unido ao vetor nulo.

[editar] Autovetores de uma matriz quadrada

Definição

Um autovalor de uma matriz $A_{n\times n}$ é um escalar $\lambda \in K$ tal que existe um vetor X, com $A X = λ X$ , onde X é chamado de autovetor de A associado a $λ$ .

$X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

[editar] Polinômio característico

Definição

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio $p (λ) = det(A - λ I)$ é chamado de polinômio característico de A.

Prove:

Seja $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor $λ$ . Então $[v] α$ é um autovetor da matriz $[T] α$ associado ao autovalor $λ$ de $[T] α$
Se $α$ e $β$ são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de $[T] α$ é igual ao polinômio característico de $[T] β$ .

[editar] Operador diagonalizável

Definição

Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ de V tal que $[T] α$ é uma matriz diagonal.

Definição

Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que $B = P - 1 A P$ .

Definição

Uma matriz $A n$ é dita diagonalizável se $A n$ for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que $D = P - 1 A P$ ).

Prove:

Se $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ tais que $\lambda_i \ne \lambda_j$ se $i \ne j$ , então $α$ é LI.
Seja $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ uma base de V. A matriz $[T] α$ é diagonal $\iff \alpha$ é uma base de V formada por autovetores de T
Se T é auto-adjunto e $λ$ é um autovalor de T, então $\lambda \in R$ .
Se T é auto-adjunto e $v_1, \ldots, v_n$ são autovetores de T associados aos autovalores $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ (distintos), respectivamente, então $v_i \perp v_j$ , se $i \ne j$ .
Se T é unitário e $λ$ é um autovalor de T, então $| λ | = 1$ .
Se $λ$ é um autovalor de T e T é normal, então $\overline{\lambda}$ é autovalor de $T *$ .
$V λ$ é T-invariante.
$V_\lambda^\perp$ é $T *$ -invariante.
Se T é normal e $λ$ é autovalor de T, então $V^\perp$ é $T *$ -invariante.
Se T é normal, então $V_\lambda^\perp$ é T-invariante.