Álgebra abstrata/Cayley

Isomorfismo

Definição: Sejam $(M,p,1),(M',p',1')\;$ dois monóides(ou grupos). Eles são isomorfos se, e somente se, existe uma aplicação bijetiva $\phi :M\mapsto M'\;$ tal que:

$\phi (1)=1',\phi (xy)=\phi (x)\phi (y),\;x,y\in M\;$

Teorema 1: A relação isomorfo é uma relação de equivalência. Seja $1_{R}:R\mapsto R,\phi :R\mapsto S,\sigma :S\mapsto T\;$

• Seja $1_{R}\;$ uma aplicação bijetiva de R sobre R, logo $1_{R}\;$ é um isomorfismo (reflexiva)
• Seja $\phi \;$ uma aplicação bijetiva de R sobre S, logo existe $\phi ^{-1}\;$ uma aplicação bijetiva de S sobre R, e portanto é um isomorfismo (simétrica)
• Seja $\phi \;$ uma aplicação bijetiva de R sobre S e $\sigma \;$ uma aplicação bijetiva de S sobre T, logo existe $\phi \sigma \;$ uma aplicação bijetiva de R sobre T, e portanto é um isomorfismo (transitiva)

$\;$

Teorema de Cayley

Teorema de Cayley para monóides e grupos:

• Todo monóide é isomorfo a um monóide de transformação
• Todo grupo é isomorfo a um grupo de transformação

Corolário: Todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico $S_{n}\;$