Mostre que
- Prova por indução sobre n:
- Mostrar que é válido para n = 1: .
- Supor válido para n = k:
- Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
- Temos que
- .
- a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações e a igualdade 3 é pela propriedade distributiva.
Mostre que
- Prova por indução sobre n:
- Mostrar que é válido para n = 1: .
- Supor válido para n = k:
- Mostrar válido para n = k+1, ou seja, mostrar que
- Temos que
- .
- a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações, as igualdades 3 e 4 são pela propriedade distributiva e a igualdade 5 pela propriedade de potência.
Mostre que
- Prova por indução sobre n:
- Mostrar que é válido para n = 1: .
- Supor válido para n = k:
- Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
- Temos que
- .
- a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela distributiva, a igualdade 3 é pela lei do corte para soma e a igualdade 4 pela potência.
Mostre que é válido para
- Prova por indução sobre n:
- Mostrar que é válido para n = 2: .
- Supor válido para n = k:
- Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
- Temos que
- .
- a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma e produto de frações, a igualdade 3 é pelas propriedades de potencia e fatorial e a igualdade 4 pela lei do corte da divisão.
Mostre que
- Prova por indução sobre n:
- Mostrar que é válido para n = 1: (Verdadeiro).
- Supor válido para n = k:
- Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
- Temos que .
- a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela distributiva, a igualdade 3 é pela lei do corte para soma e a igualdade 4 pela propriedade fatorial.
Prove que .
- Mostraremos que é válido para (verdade).
- Suponhamos que seja válido para .
- Mostraremos que seja válido para .
- a desigualdade 1 é devida à hipótese de indução, a desigualdade 2 pela desigualdade de potência, a igualdade 3 pela distributiva e igualdade 4 pela propriedade de potência.
Mostre que
- Mostraremos que é válido para (verdade)
- Suponhamos válido para
- Mostraremos que é válido para
- Assim: . (A desigualdade 1 é pela hipótese da indução.)
- A desigualdade 2 resulta de:
Considere uma sequência tal que
Mostre que
- Vamos mostrar que é válido .
- (verdade)
- Supomos válido para n=k e mostra que é verdade para n = k+1, ou seja:
- .
- .
Mostre que
- Mostre que é verdade para
- Suponha que é verdade para
- Mostrar válido para
- Assim
- (verdade)
- Seja
- Vamos mostrar que é válido para .
- Suponhamos que vale para
- Mostrar válido para
- .
- Seja
- Vamos mostrar que é válido para .
- Suponhamos que vale para
- Mostrar válido para
- .
- Seja
- Vamos mostrar que é válido para .
- Suponhamos que vale para
- Mostrar válido para
- Seja
- Vamos mostrar que é válido para .
- Suponhamos que vale para
- Mostrar válido para
- Seja
- Vamos mostrar que é válido para .
- Suponhamos que vale para
- Mostrar válido para
Considere um plano dividido em várias regiões por n retas. Considere que foram usadas duas cores para pintar cada região de forma que as regiões adjacentes, sempre tenham cores diferentes.
- Provar para n=1 reta: Uma reta divide uma região em duas regiões adjacentes, que podem ser pintadas com duas cores diferentes.
- Suponha que uma região que foi cortada por n retas, nos dá várias regiões que tenham cores diferentes para cada duas regiões adjacentes.
- Essas regiões ou são polígonos ou são semi-planos.
- Vamos mostrar que é válido para n+1 retas:
- Ao colocar mais uma reta nesse plano, as regiões por onde a reta passar serão cortadas em duas, gerando novas regiões adjacentes que devem ter todas as suas cores mudadas de um dos lados dessa reta.
- As regiões que se transformaram em duas por termos mudado as cores de um dos lados da reta, são agora de cores diferentes.
- As regiões desse lado da reta que tiveram as suas cores mudadas que eram adjacentes as regiões novas tiveram as suas cores mudadas, tanto quanto as regiões antigas.
- As regiões que mudaram de cor e não faziam adjacência com as regiões novas, tiveram suas cores todas mudadas, continuando a ter cores diferentes pra regiões adjacentes.
- Portanto vamos continuar tendo cada região adjacente com cores diferentes.
Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:
- Mostre que é válido para
- Suponhamos válido para .
- Iremos mostrar que é válido para
- Assim
- onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução e a desigualdade 3 é pelo fato que k é um natural maior que 4.
Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:
- Mostre que é válido para
- Suponhamos válido para .
- Iremos mostrar que é válido para
- Assim
- onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução e a desigualdade 3 é pelo fato que k é um natural maior que 4.
Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:
- Mostre que é válido para (verdade).
- Suponhamos válido para .
- Iremos mostrar que é válido para
- Assim
- onde a desigualdade 1 é pela hipótese de indução, a implicação 2 é por soma de termos numa desigualdade, a desigualdade 3 é pela soma de frações, a implicação 4 é por distributiva, a igualdade 5 é pela lei do corte e a desigualdade 6 é pela desigualdade.
.
- Vamos mostrar que a sentença acima é válida por indução sobre n.
- Mostrar que é válido para n =1: .(verdade)
- Suponhamos válido para n = k: .
- Mostrar que é válido para n = k+1: .
- .
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