Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA12/unid2

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2.1.a[editar | editar código-fonte]

Mostre que 
  • Prova por indução sobre n:
    • Mostrar que é válido para n = 1: .
    • Supor válido para n = k:
    • Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
      • Temos que
      • .
      • a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações e a igualdade 3 é pela propriedade distributiva.

2.1.b[editar | editar código-fonte]

Mostre que 
  • Prova por indução sobre n:
    • Mostrar que é válido para n = 1: .
    • Supor válido para n = k:
    • Mostrar válido para n = k+1, ou seja, mostrar que
      • Temos que
      • .
      • a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma de frações, as igualdades 3 e 4 são pela propriedade distributiva e a igualdade 5 pela propriedade de potência.

2.1.c[editar | editar código-fonte]

Mostre que 
Prova por indução sobre n:
  • Mostrar que é válido para n = 1: .
  • Supor válido para n = k:
  • Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
    • Temos que
  • .
    • a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela distributiva, a igualdade 3 é pela lei do corte para soma e a igualdade 4 pela potência.

2.1.d[editar | editar código-fonte]

Mostre que  é válido para 
Prova por indução sobre n:
  • Mostrar que é válido para n = 2: .
  • Supor válido para n = k:
  • Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
    • Temos que
    • .
    • a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela soma e produto de frações, a igualdade 3 é pelas propriedades de potencia e fatorial e a igualdade 4 pela lei do corte da divisão.

2.1.e[editar | editar código-fonte]

Mostre que 
Prova por indução sobre n:
  • Mostrar que é válido para n = 1: (Verdadeiro).
  • Supor válido para n = k:
  • Mostrar válido para n = k+1, ou seja, Mostrar que .
    • Temos que .
    • a igualdade 1 é devida à hipótese de indução, a igualdade 2 pela distributiva, a igualdade 3 é pela lei do corte para soma e a igualdade 4 pela propriedade fatorial.

2.2a[editar | editar código-fonte]

Prove que .
  • Mostraremos que é válido para (verdade).
  • Suponhamos que seja válido para .
  • Mostraremos que seja válido para .
    • a desigualdade 1 é devida à hipótese de indução, a desigualdade 2 pela desigualdade de potência, a igualdade 3 pela distributiva e igualdade 4 pela propriedade de potência.

2.2b[editar | editar código-fonte]

Mostre que 
  • Mostraremos que é válido para (verdade)
  • Suponhamos válido para
  • Mostraremos que é válido para
    • Assim: . (A desigualdade 1 é pela hipótese da indução.)
      • A desigualdade 2 resulta de:

2.3a[editar | editar código-fonte]

Considere uma sequência tal que 
Mostre que 
  • Vamos mostrar que é válido .
  • (verdade)
  • Supomos válido para n=k e mostra que é verdade para n = k+1, ou seja:
  • .
  • .

2.3b[editar | editar código-fonte]

Mostre que

  • Mostre que é verdade para
  • Suponha que é verdade para
  • Mostrar válido para
    • Assim
    • (verdade)

2.4a[editar | editar código-fonte]

  • Seja
  • Vamos mostrar que é válido para .
  • Suponhamos que vale para
  • Mostrar válido para
    • .

2.4b[editar | editar código-fonte]

  • Seja
  • Vamos mostrar que é válido para .
  • Suponhamos que vale para
  • Mostrar válido para
    • .

2.4c[editar | editar código-fonte]

  • Seja
  • Vamos mostrar que é válido para .
  • Suponhamos que vale para
  • Mostrar válido para

2.4d[editar | editar código-fonte]

  • Seja
  • Vamos mostrar que é válido para .
  • Suponhamos que vale para
  • Mostrar válido para

2.4e[editar | editar código-fonte]

  • Seja
  • Vamos mostrar que é válido para .
  • Suponhamos que vale para
  • Mostrar válido para

2.5[editar | editar código-fonte]

Considere um plano dividido em várias regiões por n retas. Considere que foram usadas duas cores para pintar cada região de forma que as regiões adjacentes, sempre tenham cores diferentes.
  • Provar para n=1 reta: Uma reta divide uma região em duas regiões adjacentes, que podem ser pintadas com duas cores diferentes.
  • Suponha que uma região que foi cortada por n retas, nos dá várias regiões que tenham cores diferentes para cada duas regiões adjacentes.
    • Essas regiões ou são polígonos ou são semi-planos.
  • Vamos mostrar que é válido para n+1 retas:
    • Ao colocar mais uma reta nesse plano, as regiões por onde a reta passar serão cortadas em duas, gerando novas regiões adjacentes que devem ter todas as suas cores mudadas de um dos lados dessa reta.
    • As regiões que se transformaram em duas por termos mudado as cores de um dos lados da reta, são agora de cores diferentes.
    • As regiões desse lado da reta que tiveram as suas cores mudadas que eram adjacentes as regiões novas tiveram as suas cores mudadas, tanto quanto as regiões antigas.
    • As regiões que mudaram de cor e não faziam adjacência com as regiões novas, tiveram suas cores todas mudadas, continuando a ter cores diferentes pra regiões adjacentes.
    • Portanto vamos continuar tendo cada região adjacente com cores diferentes.

2.6[editar | editar código-fonte]

2.7[editar | editar código-fonte]

2.8[editar | editar código-fonte]

2.9a[editar | editar código-fonte]

Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:


  • Mostre que é válido para
  • Suponhamos válido para .
  • Iremos mostrar que é válido para
    • Assim
    • onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução e a desigualdade 3 é pelo fato que k é um natural maior que 4.

2.9b[editar | editar código-fonte]

Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:


  • Mostre que é válido para
  • Suponhamos válido para .
  • Iremos mostrar que é válido para
    • Assim
    • onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução e a desigualdade 3 é pelo fato que k é um natural maior que 4.

2.9c[editar | editar código-fonte]

Demonstre, por indução, as seguintes desigualdades:


  • Mostre que é válido para (verdade).
  • Suponhamos válido para .
  • Iremos mostrar que é válido para
    • Assim
    • onde a desigualdade 1 é pela hipótese de indução, a implicação 2 é por soma de termos numa desigualdade, a desigualdade 3 é pela soma de frações, a implicação 4 é por distributiva, a igualdade 5 é pela lei do corte e a desigualdade 6 é pela desigualdade.

2.9d[editar | editar código-fonte]

.
  • Vamos mostrar que a sentença acima é válida por indução sobre n.
  • Mostrar que é válido para n =1: .(verdade)
  • Suponhamos válido para n = k: .
  • Mostrar que é válido para n = k+1: .
    • .
    • logo

2.10[editar | editar código-fonte]

2.11[editar | editar código-fonte]

2.12[editar | editar código-fonte]

2.13[editar | editar código-fonte]

2.14[editar | editar código-fonte]

2.15[editar | editar código-fonte]

2.16[editar | editar código-fonte]

2.17[editar | editar código-fonte]

2.18[editar | editar código-fonte]

2.19[editar | editar código-fonte]

2.20[editar | editar código-fonte]