Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA11/Lista5

Lema 1.1

Toda sequência convergente é limitada.

• Seja $x_{n}$, uma sequência que converge para $c\in \mathbb {Q} \Rightarrow \forall \;\epsilon >0\;\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{0}\Rightarrow x_{n}\in (c-\epsilon ,c+\epsilon )$.
• Tomando o conjunto $A=\{x_{1},x_{2},...,x_{n_{0}},c-\epsilon ,c+\epsilon \}$, tome $a=minA$, $b=maxA$.
• Temos que $\forall n\in \mathbb {N} ,x_{n}\in (a,b)$.

Lema 1.2

Se $(x_{n})$ é uma sequência limitada, logo, existe $c>0,c\in \mathbb {Q}$, tal que $|x_{n}|<c$.

• Tome $A=\{x_{n}\in (x_{n}):n\in \mathbb {N} \}$. Como a sequência é limitada, logo existem $a,b\in \mathbb {Q}$, tal que $a<x_{n}<b,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Tome $c=\max\{|a|,|b|\}\Rightarrow -c<x_{n}<c\Rightarrow |x_{n}|<c$.

Lema 1.3

Toda sequência de Cauchy é limitada.

• Seja $x_{n}$ uma sequência de cauchy. Assim $\forall \;\epsilon >0\;\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n\geq n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon \Rightarrow x_{n}\in (x_{n_{0}}-\epsilon ,x_{n_{0}}+\epsilon )$
• Tomando $A=\{x_{1},x_{2},...,x_{n_{0}},x_{n_{0}}-\epsilon ,x_{n_{0}}+\epsilon \}$ e $a=minA,b=maxA$.
• Tome $c=\max\{a,b\},\Rightarrow -c<x_{n}<c\Rightarrow |x_{n}|<c,\forall \;n\in \mathbb {N}$.

Lema 1.4

Se $\lim x_{n}=0$ e $(y_{n})$ é uma sequência limitada, então $\lim x_{n}\cdot y_{n}=0$ (mesmo que não exista $\lim y_{n}$).

• Como $(y_{n})$ é limitada, logo existe $c>0$ tal que $|y_{n}|<c$ para todo $n\in \mathbb {N}$. Dado $\epsilon >0$, como $\lim x_{n}=0$, podemos encontrar $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}|<{\epsilon \over c}$.
• Logo, $n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}\cdot y_{n}|=|x_{n}|\cdot |y_{n}|<{\epsilon \over c}\cdot c=\epsilon$. Isto mostra que $\lim x_{n}\cdot y_{n}=0$.

lema 1.5

$\lim x_{n}=a\Leftrightarrow \lim x_{n}-a=0$

• ($\Rightarrow$) Como $\lim x_{n}=a\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow |(x_{n}-a)-0|<\epsilon \Rightarrow \lim(x_{n}-a)=0$.
• ($\Leftarrow$) Como $\lim x_{n}-a=0\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{0}\Rightarrow |(x_{n}-a)-0|<\epsilon \Rightarrow |x_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow \lim x_{n}=a$.

1a

Mostre que a sequência $x_{n}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over n}$ não converge em $\mathbb {Q}$.

• Primeiro vamos exibir o valor de $x_{n}$ em função de n de forma aproximada:
  • $x_{n}=1+{1 \over 2}+{\bigg (}{1 \over 3}+{1 \over 4}{\bigg )}+{\bigg (}{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}{\bigg )}+...+{\bigg (}{1 \over 2^{j-1}+1}+{1 \over 2^{j-1}+2}+...+{1 \over 2^{j}}{\bigg )}+...+{1 \over n}$
  • $x_{n}>1+{1 \over 2}+{\bigg (}{1 \over 4}+{1 \over 4}{\bigg )}+{\bigg (}{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}{\bigg )}+...+{\bigg (}{1 \over 2^{j}}+{1 \over 2^{j}}+...+{1 \over 2^{j}}{\bigg )}+...+{1 \over n}$
  • $x_{n}>1+{1 \over 2}+2\cdot {1 \over 4}+4\cdot {1 \over 8}+...+2^{j-1}\cdot {1 \over 2^{j}}+...+{1 \over n}$.
  • Considere $j=max\{y\in \mathbb {N} :2^{y}<n<2^{y+1}:n\in \mathbb {N} \}$, tome $t=n-2^{j}\Rightarrow 2^{j}=n-t\Rightarrow jlog2=log(n-t)\Rightarrow j=log_{2}(n-t)\approx log_{2}n$.
  • $x_{n}>1+j\cdot {1 \over 2}+{1 \over 2^{j+1}}+{1 \over 2^{j+2}}+...+{1 \over n}>1+{j \over 2}={2+j \over 2}$. Tomando $j=log_{2}n,x_{n}>{2+log_{2}n \over 2}$.
• Qualquer que seja $m>0,m\in \mathbb {Q} ,\exists \;n\in \mathbb {N} ,$, tal que ${2+log_{2}n \over 2}>m$, logo $x_{n}>m$ e assim $x_{n}$ não é limitado superiormente.
• Como $x_{n+1}=x_{n}+{1 \over n+1}\Rightarrow x_{n}<x_{n+1},\forall \;n\in \mathbb {N}$. Assim $x_{n}$ é uma sequência crescente.
• Portanto $x_{n}$ não é uma sequência convergente (Uma sequência crescente só é convergente se for limitada superiormente).

1b

A sequência $x_{n}$ é de Cauchy?

• Toda sequência de Cauchy é limitada. Como $x_{n}$ é ilimitada superiormente, logo $x_{n}$ não é de Cauchy.

2a

Sejam $\lim x_{n}=a,\lim y_{n}=b$ sequências convergentes. Mostre que $\lim x_{n}+y_{n}=a+b$

• Como $\lim x_{n}=a,\lim y_{n}=b$, logo $\forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{1},n_{2}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-x_{n_{1}}|<{\epsilon \over 2}$ e
  • $n>n_{2}\Rightarrow |y_{n}-y_{n_{2}}|<{\epsilon \over 2}$.
• Tome $n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$, assim $n>n_{0}\Rightarrow n>n_{1}$ e $n>n_{2}$.
• Assim $|x_{n}+y_{n}-(a+b)|=|(x_{n}-a)+(y_{n}-b)|\leq |(x_{n}-a)|+|(y_{n}-b)|<{\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 2}=\epsilon$.

2b

Sejam $\lim x_{n}=a,\lim y_{n}=b$ sequências convergentes. Mostre que $\lim x_{n}\cdot y_{n}=a\cdot b$

• Temos que $\lim x_{n}=a\Rightarrow \lim(x_{n}-a)=0$. Como $y_{n}$ é convergente, pelo lema 1, ela é limitada, pelo lema 4, $\lim(x_{n}-a)\cdot y_{n}=0$, ou seja, $\forall \;\epsilon >0,\exists n_{1}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{1}\Rightarrow |(x_{n}-a)\cdot y_{n}|<{\epsilon \over 2}$.
• Tome $\lim y_{n}=b$, assim $\forall \;\epsilon >0,\epsilon \in \mathbb {Q} ,\exists n_{2}\in \mathbb {N}$, tal que $n>n_{2}\Rightarrow |y_{n}-b|<{\epsilon \over 2|a|}\Rightarrow |y_{n}-b|\cdot |a|<{\epsilon \over 2}$.
• Tome $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}$, assim $n>n_{0}\Rightarrow n>n_{1}$ e $n>n_{2}$.
• Assim $|x_{n}\cdot y_{n}-(a\cdot b)|=|x_{n}\cdot y_{n}-a\cdot y_{n}+a\cdot y_{n}-ba|=|(x_{n}-a)\cdot y_{n}+(y_{n}-b)\cdot a|\leq$
  • $\leq |(x_{n}-a)\cdot y_{n}|+|(y_{n}-b)|\cdot |a|<{\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 2}=\epsilon$.

2c

Sejam $(x_{n}),(y_{n})$ sequências de Cauchy. A sequência $(x_{n}+y_{n})$ é de Cauchy.

• Como $(x_{n}),(y_{n})$ são sequências de Cauchy, logo $\forall \;\epsilon >0,\epsilon \in \mathbb {Q}$.
  • $\exists \;n_{1}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{1}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon /2\Rightarrow x_{n}-\epsilon /2<x_{m}<x_{n}+\epsilon /2\Rightarrow x_{m}\in (x_{n}-\epsilon /2,x_{n}+\epsilon /2)$.
  • $\exists \;n_{2}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{2}\Rightarrow |y_{m}-y_{n}|<\epsilon /2\Rightarrow y_{n}-\epsilon /2<y_{m}<y_{n}+\epsilon /2\Rightarrow y_{m}\in (y_{n}-\epsilon /2,y_{n}+\epsilon /2)$.
• Tome $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow n_{0}\geq n_{1},n_{0}\geq n_{2}$.
• Assim $\forall \;n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}-x_{n_{0}}|<\epsilon /2$ e $|y_{n}-y_{n_{0}}|<\epsilon /2$.
• Assim $|(x_{n}+y_{n})-(x_{n_{0}}+y_{n_{0}})|=|(x_{n}-x_{n_{0}})+(y_{n}-y_{n_{0}})|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|y_{n}-y_{n_{0}}|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$

2d

Sejam $(x_{n}),(y_{n})$ sequências de Cauchy. A sequência $(x_{n}\cdot y_{n})$ é de Cauchy.

• Como $(x_{n}),(y_{n})$ são sequências de Cauchy, logo $\forall \;\epsilon >0,\epsilon \in \mathbb {Q}$.
  • $\exists \;n_{1}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{1}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<{\epsilon \over 2}$.
  • $\exists \;n_{2}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{2}\Rightarrow |y_{m}-y_{n}|<{\epsilon \over 2}$.
  • Como $x_{n}$ é de Cauchy, logo é limitada, ou seja, $\exists \;c>0,c\in \mathbb {Q}$, tal que $|x_{n}|<c,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
  • Como $y_{n}$ é de Cauchy, logo é limitada, ou seja, $\exists \;d>0,d\in \mathbb {Q}$, tal que $|y_{n}|<d,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Tome $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow n_{0}\geq n_{1},n_{0}\geq n_{2}$.
• Assim $\forall \;m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<{\epsilon \over 2d}$ e $|y_{n}-y_{m}|<{\epsilon \over 2c}$.
• Assim $|(x_{n}\cdot y_{n})-(x_{m}\cdot y_{m})|=|(x_{n}\cdot y_{n})-(x_{m}\cdot y_{n})+(x_{m}\cdot y_{n})-(x_{m}\cdot y_{m})|=$
  • $=|(x_{n}-x_{m})\cdot y_{m}+x_{m}\cdot (y_{n}-y_{m})|=|x_{n}-x_{m}|\cdot |y_{m}|+|x_{m}|\cdot |y_{n}-y_{m}|=$
  • $\leq {\epsilon \over 2d}\cdot d+{\epsilon \over 2c}\cdot c<{\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 2}=\epsilon$

3

Como $(x_{n}),(y_{n})$ são sequências de Cauchy, logo ${x_{n} \over y_{n}}$ é de Cauchy.

• Como $(x_{n}),(y_{n})$ é uma sequência de Cauchy, assim $\forall \;\epsilon >0,\epsilon \in \mathbb {Q}$.
  • $\exists \;n_{1}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{1}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<{\epsilon \over 2e}$.
  • $\exists \;n_{2}\in \mathbb {N}$, tal que $m,n>n_{2}\Rightarrow |y_{m}-y_{n}|<{\epsilon \over 2cee}$.
  • Tome $n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow n_{0}\geq n_{1},n_{0}\geq n_{2}$.
• Como $x_{n}$ é de Cauchy, logo é limitada, ou seja, $\exists \;c>0,c\in \mathbb {Q}$, tal que $|x_{n}|<c,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Como $y_{n}$ é de Cauchy, logo é limitada, ou seja, $\exists \;d>0,d\in \mathbb {Q}$, tal que $|y_{n}|<d,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Mas em $y_{n}$, temos que $|y_{n}|>{1 \over e}\Rightarrow {1 \over |y_{n}|}<e,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Assim $\forall \;m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<{\epsilon \over 2e}$ e $|y_{n}-y_{m}|<{\epsilon \over 2cee}$.
• Assim ${\bigg |}{x_{n} \over y_{n}}-{x_{m} \over y_{m}}{\bigg |}={\bigg |}{(x_{n}\cdot y_{m})-(x_{m}\cdot y_{n}) \over y_{n}\cdot y_{m}}{\bigg |}={\bigg |}{(x_{n}\cdot y_{m}-x_{m}\cdot y_{m})+(x_{m}\cdot y_{m}-x_{m}\cdot y_{n}) \over y_{n}\cdot y_{m}}{\bigg |}$
  • $={\bigg |}{(x_{n}-x_{m})\cdot y_{m}+x_{m}\cdot (y_{m}-y_{n}) \over y_{n}\cdot y_{m}}{\bigg |}={\bigg |}{x_{n}-x_{m} \over y_{n}}{\bigg |}+{\bigg |}{x_{m}\cdot (y_{n}-y_{m}) \over y_{n}\cdot y_{m}}{\bigg |}=$
  • $=|x_{n}-x_{m}|\cdot {\bigg |}{1 \over y_{n}}{\bigg |}+|x_{m}|\cdot |y_{n}-y_{m}|\cdot {\bigg |}{1 \over y_{n}}{\bigg |}\cdot {\bigg |}{1 \over y_{m}}{\bigg |}=$
  • $<{\epsilon \over 2e}\cdot e+c\cdot {\epsilon \over 2cee}\cdot e\cdot e={\epsilon \over 2}+{\epsilon \over 2}=\epsilon$

4

Dada a relação de equivalência nas sequências de Cauchy de racionais: $(x_{n})\sim (y_{n})$ se, e somente se, $(x_{n}-y_{n})$ converge para zero e $\mathbb {R} =\mathbb {Q} /\sim$ o conjunto quociente das classes de equivalência $[(x_{n})]$ de sequências $(x_{n})$ de Cauchy.

Descreva-se explicitamente um subconjunto ${\mathcal {Q}}$ de $\mathbb {R}$ isomorfo a $\mathbb {Q}$, isto é, mostre que existe uma aplicação injetiva $\Psi :\mathbb {Q} \mapsto \mathbb {R}$ tal que $\Psi (\mathbb {Q} )={\mathcal {Q}},\Psi (a+b)=\Psi (a)+\Psi (b)$ e $\Psi (a\cdot b)=\Psi (a)\cdot \Psi (b)$.

• ${\displaystyle }$

1

Para todo corte de Dedekind $\alpha$ seu complementar $\mathbb {Q} \setminus \alpha$ não é um corte de Dedekind? Justifique sua resposta.

• $B=\mathbb {Q} \setminus \alpha$ é corte de Dedekind, somente se:
  • (a) $B\neq \varnothing ,B\neq \mathbb {Q}$
  • (b) dado $p\in B,\exists \;q\in B$, tal que $p<q$.
  • (c) se $q<p\Rightarrow q\in B$.
• Agora vamos mostrar que a nossa suposição de ocorrer (c) seja um absurdo.
• tomemos $\alpha +1\in B$. Como $\alpha <\alpha +1\Rightarrow \alpha \in B$ que é um absurdo, pois $\alpha \in B^{c}$.
• Portanto $B=\mathbb {Q} \setminus \alpha$ não pode ser um corte de Dedekind.