Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA11/Lista4

Lemmas

Lema 1

A composição de duas funções injetivas é injetiva. Ou seja, Se $f:A\mapsto B$ e $g:B\mapsto C$ são duas funções injetivas, então $h=g\circ f:A\mapsto C$, com $h(x)=g(f(x))$ é uma função injetiva.

• Tome $a\neq b\in A\Rightarrow _{1}f(a)\neq f(b)\in B\Rightarrow _{2}g(f(a))\neq g(f(b))\in C\Rightarrow _{3}h(a)\neq h(b)\in C$. Portanto h é injetiva.
  • onde a implicação 1 ocorre por f ser injetiva e a implicação 2 ocorre por g ser injetiva e a implicação 3 ocorre por h ser bem definida.

Lema 2

O conjunto dos Naturais é infinito.

• Seja $f:\mathbb {N} \mapsto 2\mathbb {N}$, com $f(n)=2n$.
• Tome $a\neq b\in \mathbb {N} \Rightarrow 2a\neq 2b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in 2\mathbb {N}$. Logo f é injetiva.
• Tome $t\in 2\mathbb {N} \Rightarrow t=2p$, para algum $p\in \mathbb {N}$, logo $f(p)=t$. Assim f é sobrejetiva e portanto bijetiva.
• Assim $\mathbb {N} \sim 2\mathbb {N}$. Como $2\mathbb {N} \subset \mathbb {N} ,2\mathbb {N} \neq \mathbb {N}$. Portanto o conjunto dos naturais é equipotente a um subconjunto próprio, e assim ele é infinito.

Lema 3

Todo conjunto equipotente com os naturais é infinito.

• Seja A um conjunto equipotente com os naturais, assim existe uma aplicação bijetiva $f:\mathbb {N} \mapsto A$. Logo $f(\mathbb {N} )=A$. Portanto se A fosse finito, o conjunto dos naturais também seria.

Lema 4

Todo conjunto infinito, possui um subconjunto equipotente com os naturais (e portanto infinito).

• Considere que A seja um conjunto infinito, assim existe uma aplicação função $f:\mathbb {N} \mapsto A$ bem definida e injetiva. Tome $g:\mathbb {N} \mapsto f(\mathbb {N} )$, com $g(n)=f(n)$ uma restrição de f sobrejetiva.
• Assim g é bijetiva, então $f(\mathbb {N} )\sim \mathbb {N}$. Logo $f(\mathbb {N} )\subset A\;e\;f(\mathbb {N} )$ é infinito. Portanto A possui um subconjunto equipotente com os naturais.

Lema 5

Os pares naturais e os impares naturais são equipotentes  entre si e entre os naturais.

• Tome $f:\mathbb {N} \mapsto 2\mathbb {N}$, com $f(x)=2x$ e $g:2\mathbb {N} \mapsto (2\mathbb {N} -1)$, com $g(x)=x-1$.
• f é injetiva: Tome $a\neq b\in \mathbb {N} \Rightarrow 2a\neq 2b\in \mathbb {N} \Rightarrow f(a)\neq f(b)\in 2\mathbb {N}$.
• f é sobrejetiva: Tome $m\in 2\mathbb {N} \Rightarrow \exists \;n\in \mathbb {N}$ tal que $m=2n\Rightarrow f(n)=m\in 2\mathbb {N}$.
• g é injetiva: Tome $a\neq b\in 2\mathbb {N} \Rightarrow a-1\neq b-1\in (2\mathbb {N} -1)\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in (2\mathbb {N} -1)$.
• g é sobrejetiva: Tome $m\in (2\mathbb {N} -1)\Rightarrow \exists \;n\in 2\mathbb {N}$ tal que $m=n-1\Rightarrow g(n)=m\in (2\mathbb {N} -1)$.
• Portanto f e g são bijetivas e assim $\mathbb {N} \sim 2\mathbb {N} \sim (2\mathbb {N} -1)$.

Lema 6

Qualquer subconjunto infinito dos naturais é equipotente ao conjunto dos naturais.

• Seja $P\subset \mathbb {N}$, tal que P é um conjunto infinito.
• Tome $f:P\mapsto \mathbb {N}$ uma aplicação bem definida em $P\subset \mathbb {N}$.
• [construção da enumeração de P]
  • [$f(p_{1})=1$] Como P não é vazio e é subconjunto do conjunto dos naturais, pelo P.B.O.(Princípio da Boa Ordem), existe o menor elemento de P, assim $min(P)=p_{1}$. Assim tomemos $f(p_{1})=1$.
  • [$f(p_{2})=2$] Se $P-\{p_{1}\}$ fosse vazio, P seria finito e equipotente com $I_{1}$. Como P é infinito, $P-\{p_{1}\}\subset \mathbb {N}$ e $P-\{p_{1}\}\neq \{\}$, pelo P.B.O., existe o menor elemento de $P-\{p_{1}\}$. Assim $min(P-\{p_{1}\})=p_{2}$. Logo, tome $f(p_{2})=2$.
  • [$f(p_{k})=k$] Sucessivamente, temos que para qualquer n=k natural, se $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}$ fosse vazio, P seria finito e equipotente com $I_{k}$. Como P é infinito, $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}\subset \mathbb {N}$ e $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}\neq \{\}$, pelo P.B.O., existe $min(P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\})=p_{k+1}$. Assim tome $f(p_{k+1})=k+1$.
  • [$f(p_{k+1})=k+1$] Assim, temos que, se $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}$ fosse vazio, P seria finito e equipotente com $I_{k+1}$. Como P é infinito, $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}\subset \mathbb {N}$ e $P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}\neq \{\}$, pelo P.B.O., existe $min(P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\})=p_{k+2}$. Assim tome $f(p_{k+2})=k+2$.
• Pelo modo como fizemos a indução sobre $n=f(p_{n})$, a aplicação é bijetiva.
• Com efeito, f é injetiva: Tome $a<b\in P\Rightarrow b=min(P-\{p_{1},p_{2},...,a,...p_{b-2},p_{b-1}\})$, logo $f(a)<f(b)\in \mathbb {N}$.
• f é sobrejetiva: Tome $n\in \mathbb {N} \Rightarrow \exists \;p_{n}\in \mathbb {N}$(garantido pela indução), tal que $f(p_{n})=n$.
• Assim f é bijetiva e $P\sim \mathbb {N}$. Portanto P é enumerável.

1

Prove o Teorema 1.1: A relação de equipotência entre conjuntos é uma relação de equivalência.

Reflexivo

Para a relação de equipotência ser reflexiva, qualquer conjunto deve ser equipotente a ele mesmo, ou seja,$\forall \;A:A\sim A$.

• Considere a função identidade $Id:A\mapsto A,Id(x)=x$.
• Essa função é sobrejetiva, porque qualquer que seja $x\in A=$Contra-domínio da Id, existe $a\in A=$Domínio da Id, tal que $Id(a)=x$. Como $Id(x)=x,logo\;a=x$.
• Essa função é injetiva, porque dado $x=y\in A=C.D.(Id)\Rightarrow \exists \;a,b\in A=Dom(Id)$(Pela sobrejetividade da função Id), tal que $Id(a)=x\;e\;Id(b)=y$. Como $Id(x)=x,Id(y)=y,logo\;a=x\;e\;b=y$. Como $x=y$, temos que $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,\forall \;x,y\in A$.
• Portanto a função $Id:A\mapsto A$ é bijetiva. Também temos que A é equipotente a A.

Simétrico

A relação de equipotência é simétrica: $\forall A,B:A\sim B\Rightarrow B\sim A$

• Vamos tomar como hipótese que A seja equipotente a B, assim existe uma aplicação $f:A\mapsto B,f(x)=y$ bijetiva e bem-definida.
• Toda função bijetiva possui inversa, assim seja $g:B\mapsto A$ uma função bem definida por $g(y)=x,tal\;que\;y=f(x)$.
• Vamos mostrar que g é sobrejetiva: Tome $x\in A\Rightarrow _{1}\exists \;y=f(x)\in B\Rightarrow _{2}g(y)=x$ . Logo g é sobrejetiva.
  • a implicação 1 ocorre pela definição de f e a implicação 2 ocorre pela definição de g.
• Vamos mostrar que g é injetiva: Tome $y_{1}\neq y_{2}\in B\Rightarrow _{3}g(y_{1})=x_{1},g(y_{2})=x_{2}\in A$, tal que $f(x_{1})=y_{1};e\;f(x_{2})=y_{2}$. Suponha, por contradição, que $x_{1}=x_{2}\Rightarrow _{4}f(x_{1})=f(x_{2})$, absurdo, pois havíamos tomado $y_{1}\neq y_{2}$. Logo $x_{1}\neq x_{2}$.
  • a implicação 3 ocorre pela definição de g e a implicação 4 ocorre pela definição de f.
• Portanto a função $g:B\mapsto A$ é bijetiva. Logo B é equipotente a A.

Transitivo

A relação de equipotência é transitiva: se o conjunto $A\sim B\;e\;B\sim C$, então o $A\sim C$.

• Como $A\sim B\Rightarrow$ existe uma aplicação bijetiva $f:A\mapsto B$. E também $B\sim C\Rightarrow$ existe uma aplicação bijetiva $g:B\mapsto C$.
• Definamos uma aplicação $h:A\mapsto C$, sendo h a função composta de g com f, ou seja, $h=g\circ f$, onde $h(x)=g(f(x))$.
• Vamos mostrar que h é sobrejetiva: Tome $z\in C\Rightarrow _{1}\exists \;y\in B$, tal que $g(y)=z\Rightarrow _{2}\exists \;x\in A$, tal que $f(x)=y$. Mas $h(x)=g(f(x))=g(y)=z$. Logo h é sobrejetiva.
  • a implicação 1 ocorre pela sobrejetividade de g e a implicação 2 ocorre pela sobrejetividade de f.
• Como f e g são bijetivas, logo são injetivas e pelo lema 1 a sua composição $h=g\circ f$ é injetiva, portanto h é injetiva.
• Portanto a função $h:A\mapsto C$ é bijetiva. Logo A é equipotente a C.

2

Prove o Teorema 1.2: Sejam conjuntos $A\subset B$, então:

2.1

Se A é infinito, então B é infinito

• Como A é infinito pelo Lema 4, existe um subconjunto $C\subset A$, tal que $C\sim \mathbb {N} .$
• Como $C\subset A\subset B$, por transitividade $C\subset B$. Logo B possui um subconjunto equipotente com os naturais e portanto B é um conjunto infinito.

2.2

Se B é finito, então A é finito

• Suponha que A seja infinito. Pelo Lema 4, existe um subconjunto $C\subset A$, tal que $C\sim \mathbb {N} .$
• Como $C\subset A\subset B$, por transitividade $C\subset B$. Logo B possui um subconjunto equipotente com os naturais e portanto B é um conjunto infinito. Absurdo B ser infinito, pois B é finito, logo foi um absurdo ter suposto que A fosse infinito e portanto A é finito.

3

Prove o Teorema 1.3 Sejam A, B dois conjuntos equipotentes. A é infinito se, e somente se, B é infinito.

• ($\Rightarrow$) Como A é infinito, pelo lema 4, A possui um subconjunto C que é equipotente com os naturais. Logo existe uma aplicação bijetiva $g:\mathbb {N} \mapsto C$.
• Temos que $C\subset A.$. Vamos mostrar que a aplicação $h:C\mapsto A$, com $h(x)=x$ é uma aplicação injetiva:
  • Tome $x\neq y\in C\;e\;h(x)=x,h(y)=y\Rightarrow h(x)\neq h(y).$
• Tomemos $i=h\circ g:\mathbb {N} \mapsto A$, com $i(n)=h(g(n))$. Como h e g são injetivas, pelo lema 1, i é uma aplicação injetiva.
• Como A é equipotente a B, logo existe uma aplicação bijetiva $f:A\mapsto B$. Tome $j=f\circ i:\mathbb {N} \mapsto B$, com $j(n)=f(i(n))$. Temos por definição da aplicação j que $j(\mathbb {N} )\subset B$. Como f e i são injetivas, pelo lema 1, j é uma aplicação injetiva.
• Vamos tomar uma restrição de j sobrejetiva, seja essa aplicação $k:\mathbb {N} \mapsto j(\mathbb {N} )$, com $k(n)=j(n)$, onde k é uma restrição do contradomínio na aplicação j.
  • Vamos mostrar que k é injetiva: $m\neq n\in \mathbb {N} \Rightarrow _{1}j(m)\neq j(n).Como\;k(m)=j(m)\;e\;k(n)=j(n)\Rightarrow _{2}k(m)\neq k(n)$.
    • a implicação 1 ocorre pela injetividade de j e a implicação 2 ocorre pela definição de k
  • vamos mostrar que k é sobrejetiva: Tome $b\in j(\mathbb {N} )\Rightarrow _{3}\exists \;n\in \mathbb {N}$, tal que $j(n)=b.Como\;k(n)=j(n)\Rightarrow _{4}b=k(n)$.
    • a implicação 3 ocorre pela sobrejetividade de j e a implicação 4 ocorre pela definição de k.
• Assim k é bijetiva e portanto $j(\mathbb {N} )\sim \mathbb {N}$. Como $j(\mathbb {N} )\subset B$
• Portanto B possui um subconjunto que é equipotente com os naturais, logo B é infinito.
• Conclusão da ($\Rightarrow$): dado qualquer conjunto infinito, todo conjunto equipotente a ele também é infinito.
• ($\Leftarrow$) Tome $B\sim A$, onde B é infinito. Pela conclusão anterior, temos que A é infinito.

4

Prove o Teorema 1.4: Seja A um conjunto infinito, $x_{0}\in A$ e $B=A\setminus \{x_{0}\}$, então B é infinito.

• Suponha que B seja finito, logo adicionando $\{x_{0}\}$ ao conjunto B teríamos que $A=B\cup \{x_{0}\}$ seria finito, que é um absurdo, pois A é infinito. Portanto foi um absurdo supor que B fosse finito. Logo B é infinito.
• Com efeito, como A é infinito, logo A possui um subconjunto C que é equipotente aos naturais. Pelo lema 5, $2\mathbb {N} \sim (2\mathbb {N} -1)\sim \mathbb {N} \sim C$.
• Em relação a B e C podemos dizer que eles são iguais ou diferentes.
  • Caso B=C, logo B é infinito.
  • Caso $\{x_{0}\}\not \in C,C\subset B\Rightarrow$ B possui um subconjunto equipotente aos naturais, logo B é infinito.
  • Caso $\{x_{0}\}\in C$. Tome uma aplicação bijetiva $f:\mathbb {N} \mapsto C$.
    • Caso $f(n)=x_{0}$, para algum n natural par, temos que existe uma $g:(2\mathbb {N} -1)\mapsto C$ uma restrição injetiva sobre a função f. Temos que $f(2\mathbb {N} -1)\subset C\subset A$. Como $x_{0}\not \in f(2\mathbb {N} -1)\Rightarrow f(2\mathbb {N} -1)\subset B$. Assim temos que B possui um subconjunto equipotente aos naturais, logo B é infinito.
    • Caso $f(n)=x_{0}$, para algum n natural ímpar, temos que existe uma $h:(2\mathbb {N} )\mapsto C$ uma restrição injetiva sobre a função f. Temos que $f(2\mathbb {N} )\subset C\subset A$. Como $x_{0}\not \in f(2\mathbb {N} )\Rightarrow f(2\mathbb {N} )\subset B$. Assim temos que B possui um subconjunto equipotente aos naturais, logo B é infinito.

5

Teorema 1.5: A é um conjunto finito se, e somente se, A é equipotente com $I_{k}$ para algum $k\in \mathbb {N}$

• ($\Rightarrow$)
• Tome A um conjunto finito. Caso A seja vazio, uma aplicação $f:A\mapsto I_{k}$ não faz sentido, já que A não têm elementos. Logo seja $A\neq \{\}$.
• Tome $f:A\mapsto \mathbb {N}$ uma aplicação. Se ela fosse bijetiva, A seria infinito. Como A não é infinito, essa função é no máximo injetiva. Assim tome $g:A\mapsto \mathbb {N}$ uma aplicação injetiva. Assim
• Tomando $g(A)\subset \mathbb {N}$, temos que g(A) é um subconjunto dos naturais. Caso fosse infinito, teríamos que A seria infinito, logo g(A) é um conjunto finito.
• Assim tome $h:A\mapsto g(A)$ uma aplicação bijetiva. Logo $A\sim g(A)\subset \mathbb {N}$.
• Seja g uma função construída tomando os elementos dos naturais a partir de 1, assim:
  • [construção de g(A)]
  • Seja $g(A)=\{n\in \mathbb {N} :g(x_{n})=n:x_{n}\in A\}$
  • Imagem inversa de 1: Como $A\neq \{\}\Rightarrow \exists x_{1}\in A$, tal que $g(x_{1})=1$. Caso $A-\{x_{1}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{1}$.
  • Imagem inversa de 2: Caso $A-\{x_{1}\}\neq \{\}\Rightarrow \exists \;x_{2}\neq x_{1}\in A$, tal que $g(x_{2})=2$. Caso $A-\{x_{1},x_{2}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{2}$.
  • Aplicando o algoritmo acima sobre a imagem inversa de cada natural 1,2,... até que exista um k natural que $A-\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{k}$ para algum k natural.
  • Pela função $h:A\mapsto I_{k}$ ser uma aplicação bijetiva, logo A é equipotente com $I_{k}$.
• ($\Leftarrow$)
• Por hipótese, $A\sim I_{k}$ para algum $k\in \mathbb {N}$.
• Caso A fosse infinito, pela bijeção $I_{k}$ seria infinito. Mas é um absurdo, pois $I_{k}$ é finito. Logo foi um absurdo ter suposto que A era infinito, portanto A é finito.

6

Prove o Teorema 1.6: Todo subconjunto infinito de um conjunto enumerável, é enumerável.

• Seja A um conjunto enumerável, ou seja equipotente com os naturais. Assim existe uma aplicação bijetiva $f:A\mapsto \mathbb {N}$, com $f(x_{n})=n,\forall \;n\in \mathbb {N}$.
• Como B é um subconjunto infinito de A, podemos extrair de f uma função restrição $g:B\mapsto \mathbb {N}$, com $g(x)=f(x)$.
  • Vamos mostrar que a função g é injetiva: Tome $a\neq b\in B$, como $B\subset A\Rightarrow a,b\in A\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in \mathbb {N} \Rightarrow g(a)\neq g(b)\in \mathbb {N}$. Pela g, $g(B)\subset \mathbb {N}$. Como B é infinito, g(B) é infinito, onde $g(B)=\{n\in \mathbb {N} :n=g(b):$ para algum $b\in B\}$
• Assim tome uma aplicação h:$B\mapsto g(B)$, com $h(x)=g(x)$ uma aplicação restritiva do contradomínio da função g.
  • vamos mostrar que h é injetiva: Tome $a\neq b\in B$, pela g $g(a)\neq g(b)\in g(B)\Rightarrow h(a)\neq h(b)\in g(B)$.
  • vamos mostrar que h é sobrejetiva: Qualquer que seja $n\in g(B)$, pela definição de g(B), existe algum $b\in B$ tal que $h(b)=n=g(b)\in g(B)$.
  • Portanto h é bijetiva e assim $B\sim g(B)\subset \mathbb {N}$. Pelo lema 6, $g(B)\sim \mathbb {N}$. Por transitividade, B é enumerável.

7

Prove o corolário 1.9: Existem conjuntos não enumeráveis.

7.1

O intervalo (0,1) não é enumerável

• Suponha que exista uma aplicação bijetiva entre $(0,1)$ e $\mathbb {N}$, assim $f:\mathbb {N} \mapsto (0,1)$.
• Sabendo que $z\in (0,1)\Rightarrow z=0+y_{1}\cdot 10^{-1}+y_{2}\cdot 10^{-2}+...+y_{k}\cdot 10^{-k}+...=0,y_{1}y_{2}y_{3}...y_{k}...,ondey_{i}\in \{0,1,...,9\},\forall \;i\in \mathbb {N}$.
• Suponha que por construção da enumeração, façamos $f(1)=0,x_{11}x_{12}...x_{1k}...;f(2)=0,x_{21}x_{22}...x_{2k}...,f(n)=0,x_{n1}x_{n2}...x_{nk}...$ onde cada $x_{ij}\in \{0,1,2,...,9\}$.
• Para que f seja bem definida, devemos conseguir relacionar cada n natural com algum número real do intervalo aberto (0,1): $z_{n}=0,x_{n1}x_{n2}...x_{nk}...$.
• Assim tome $z=0,y_{1}y_{2}y_{3}...y_{k}...=0,x_{t1}x_{t2}...x_{tk}...(onde\;y_{i}=x_{ti})$, para algum t natural, tal que $y_{k}=5\;se\;x_{tk}\neq 5\;e\;y_{k}=2\;se\;x_{tk}=5,$ para cada $k\in \mathbb {N}$.
• $z\neq f(1)$, porque $y_{1}\neq x_{11}$, $z\neq f(2)$, porque $y_{2}\neq x_{22}$, e assim sucessivamente. Logo $\not \exists \;n\in \mathbb {N}$, tal que $f(n)=z\in (0,1)$. Absurdo, pois a função não fica bem definida. Portanto não existe uma função onde podemos relacionar todos os elementos de (0,1) com um natural.
• Portanto (0,1) é um conjunto não-enumerável.

7.2

Qualquer intervalo aberto é um conjunto não-enumerável.

• Basta tomarmos (a,b) como um intervalo qualquer, assim tome a função $f:(0,1)\mapsto (a,b)$, com $f(x)=a+x(b-a)$ é uma função bijetiva, logo $(0,1)\sim (a,b)$.
• Com efeito, se (a,b) fosse enumerável, existiria uma aplicação bijetiva $g:\mathbb {N} \mapsto (a,b)$.
• Como f é bijetiva, existe uma aplicação inversa bijetiva $f^{-1}:(a,b)\mapsto (0,1)$ e assim a função composta $f^{-1}\circ g:\mathbb {N} \mapsto (0,1)$ seria bijetiva.

8

Prove a proposição 2.4: Seja K um corpo e $x,y,z\in K$

8.1a

O elemento neutro de $\star$ em K, $\theta$, é único.

• Suponha que o elemento neutro de $\star$ não é único, assim existem os elementos neutros $\theta _{1},\theta _{2}$.
• Logo devem valer que $\forall \;x\in K:x\star \theta _{1}=x$ e $x\star \theta _{2}=x$.
• Como $\theta _{1},\theta _{2}\in K\Rightarrow (1):\theta _{2}\star \theta _{1}=\theta _{2}$ e $(2):\theta _{1}\star \theta _{2}=\theta _{1}$.
• Em K vale a comutatividade, assim $\theta _{2}\star \theta _{1}=\theta _{1}\star \theta _{2}\Rightarrow _{1}\theta _{2}=\theta _{1}$
  • a implicação 1 ocorre devida as equações (1) e (2).

8.1b

O elemento neutro da $\circ$ em K, $\iota$, é único.

• Suponha que o elemento neutro de $\circ$ não é único, assim existem os elementos neutros $\iota _{1},\iota _{2}$.
• Logo devem valer que $\forall \;x\in K:x\circ \iota _{1}=x$ e $x\circ \iota _{2}=x$.
• Como $\iota _{1},\iota _{2}\in K\Rightarrow (1):\iota _{2}\circ \iota _{1}=\iota _{2}$ e $(2):\iota _{1}\circ \iota _{2}=\iota _{1}$.
• Em K vale a comutatividade, assim $\iota _{2}\circ \iota _{1}=\iota _{1}\circ \iota _{2}\Rightarrow _{1}\iota _{2}=\iota _{1}$
  • a implicação 1 ocorre devida as equações (1) e (2).

8.2a

O elemento inverso de $\star$ em K, "$-x$", é único.

• Suponha que o elemento inverso "$-x$" não é único, assim existem os elementos neutros $-x_{1},-x_{2}$.
• Logo devem valer que $\forall \;x\in K:(1):x\star -x_{1}=\theta ,(1'):\theta =-x_{1}\star x,(2):x\star -x_{2}=\theta$ e $(2'):\theta =-x_{2}\star x$.
• Como $-x_{1},-x_{2}\in K,-x_{2}\star (1),-x_{1}\star (2)\Rightarrow (3):-x_{2}\star x\star -x_{1}=-x_{2}\star \theta$ e $(4):-x_{1}\star x\star -x_{2}=-x_{1}\star \theta$.

• Usando $(2')$ em $(3)$ e $(1')$ em $(4)$ teremos que: $(5):\theta \star -x_{1}=-x_{2}\star \theta$ e $(6):\theta \star -x_{2}=-x_{1}\star \theta$.
• Como $\theta$ é o elemento neutro de $\star$ em K, ou seja, $\forall x\in K,(7):x\star \theta =x=\theta \star x,\forall \;x\in K$. Logo $(7)$ em $(5)$ e $(6)\Rightarrow -x_{1}=-x_{2}$
• Portanto o elemento inverso de $\star$ em K, "$-x$", é único.

8.4a

$(1):x\star z=y\star z\Rightarrow x=y$ (Lei de corte de $\star$ em K)

• Como $-z\in K$, logo $(2):(1)\star -z$ logo $(2):x\star z\star -z=y\star z\star -z$.
• Pelo elemento inverso de $\star$ em K, logo $(3):z\star -z=\theta$.
• Aplicando $(3)$ em $(2)$, teremos que $(4):x\star \theta =y\star \theta$.
• Pelo elemento neutro de $\star$ em K, logo $(5):x\star \theta =x$.
• Assim aplicando $(5)$ em $(4)$, teremos que $(4):x=y$.

8.3

$x\circ \theta =\theta \circ x=\theta$, para todo $x\in K$.

• Como $\forall \;x,\iota \in K,(1):x\star \theta =x$, logo $(2):\iota \star \theta =\iota$.
• Aplicando $x\circ (2)$ temos que $(3):x\circ (\iota \star \theta )=x\circ \iota$.
• Pelo axioma da distributividade em K, $(3)\Rightarrow (4):(x\circ \iota )\star (x\circ \theta )=x\circ \iota$.
• Aplicando $(1)$ em $(4)\Rightarrow (5):(x\circ \iota )\star (x\circ \theta )=(x\circ \iota )\star \theta$.
• Pela lei do corte de $\star$ em K, $(5)\Rightarrow (6):x\circ \theta =\theta$.
• Analogamente temos que $\theta \circ x=\theta$.

8.2b

O elemento inverso de $\circ$ em K, "$y^{-1}$" para $y\neq \theta$ é único.

• A princípio, caso $y=\theta :y\circ y^{-1}=\theta .$ Como $y\circ y^{-1}=\iota$, é absurdo termos que $y=\theta .$. Logo $\exists \;y^{-1}\in K\Leftrightarrow y\neq \theta .$
• Suponha que o elemento inverso "$y^{-1}$" não é único, assim vamos supor que existem dois elementos inversos $w,z$.
• Logo devem valer que $\forall \;y\in K:(1):y\circ w=\iota ,(1'):\iota =w\circ y,(2):y\circ z=\iota$ e $(2'):\iota =z\circ y$.
• Como $w,z\in K,z\circ (1),w\circ (2)\Rightarrow (3):z\circ y\circ w=z\circ \iota$ e $(4):w\circ y\circ z=w\circ \iota$.
• Usando $(2')$ em $(3)$ e $(1')$ em $(4)$ teremos que: $(5):\iota \circ w=z\circ \iota$ e $(6):\iota \circ z=w\circ \iota$.
• Como $\iota$ é o elemento neutro de $\star$ em K, ou seja, $\forall \;x\in K,(7):x\circ \iota =x=\iota \circ x$. Logo $(7)$ em $(5)$ e $(6)\Rightarrow w=z$
• Portanto o elemento inverso de $\circ$ em $K-\{\theta \}$, "$y^{-1}$", é único.

8.4b

Para $z\neq \theta ,(1):x\circ z=y\circ z\Rightarrow x=y$. (Leis de corte de $\circ$ em K)

• Como $z^{-1}\in K$, logo tome $(2):(1)\circ z^{-1}$ logo $(2):(x\circ z)\circ z^{-1}=(y\circ z)\circ z^{-1}$.
• K é associativo, logo $(2)\Rightarrow (3):x\circ (z\circ z^{-1})=y\circ (z\circ z^{-1})$.
• Pelo elemento inverso de $\circ$ em K, logo $(4):z\circ z^{-1}=\iota$.
• Aplicando $(4)$ em $(3)$, teremos que $(5):x\circ \iota =y\circ \iota$.

Pelo elemento neutro de $\circ$ em K, logo $(6):x\circ \iota =x$.

• Assim aplicando $(6)$ em $(5)$, teremos que $(7):x=y$.

8.5

$x\circ y=\theta \Rightarrow x=\theta$ ou $y=\theta$. (Não existe divisores de $\theta$)

• Como hipótese temos que $(1):x\circ y=\theta$
  • Suponha que $x\neq \theta$, assim tomemos $(2):x^{-1}\circ (1)$, logo $(2):x^{-1}\circ (x\circ y)=x^{-1}\circ \theta$.
  • Como $\forall \;x\in K,(3):x\circ \theta =\theta$ e pela associatividade de K, temos que $(2)\Rightarrow (4):(x^{-1}\circ x)\circ y=\theta$.
  • Como $\forall \;x\in K,(5):x\circ x^{-1}=\iota$ logo $(4)\Rightarrow (6):\iota \circ y=\theta \Rightarrow (7):y=\theta$.
• Analogamente, supondo que $y\neq \theta$, teremos que $x=\theta$.
• Suponha agora que $x=\theta \Rightarrow \theta \circ y=\theta$. Isso é verdade para qualquer y em K. Em particular para quando $y=\theta$.
• Analogamente suponha que $y=\theta \Rightarrow x\circ \theta =\theta$. Isso é verdade para qualquer x em K. Em particular para quando $x=\theta$.
• Portanto $x=\theta$ ou $y=\theta$.

8.6a

$(-x)\circ y=x\circ (-y)=-(x\circ y)$ (Regra dos sinais diferentes)

• $\theta =_{1}\theta \circ y=_{2}((-x)\star x)\circ y=_{3}((-x)\circ y)\star (x\circ y)\Rightarrow _{4}(1):\theta =((-x)\circ y)\star (x\circ y)$.
  • a igualdade 1 ocorre porque $(a):\forall y\in K,y\circ \theta =\theta$, a igualdade 2 ocorre porque $(b):\forall y\in K,y\star -y=\theta$, a igualdade 3 ocorre pelo axioma da distributividade em K e a implicação 4 é a conclusão.
• Tome $(2):(1)\star -(x\circ y)\Rightarrow (2):\theta \star -(x\circ y)=((-x)\circ y)\star (x\circ y)\star -(x\circ y)\Rightarrow _{5}(3):-(x\circ y)=(-x)\circ y$.
  • a implicação 5 ocorre por $(b)$ e $(c):\forall \;x\in K,\theta \star x=x$.
• De modo análogo, conclui-se que $-(x\circ y)=x\circ (-y)$.
• Portanto: $x\circ (-y)=(-x)\circ y=-(x\circ y)$.

8.6b

$(-x)\circ (-y)=x\circ y$. (Regra dos sinais iguais)

• Assim $(-x)\circ (-y)=-[x\circ (-y)]=-[-(x\circ y)]=x\circ y$
  • as igualdades ocorrem por $x\circ (-y)=(-x)\circ y=-(x\circ y)$.

9

Prove a proposição 3.3: Sejam K um corpo ordenado, P seus elementos positivos, então:

9.1

Se $a\neq \theta$, então $a\circ a=a^{2}\in P$.

• Tome $a\in K\Rightarrow a\in P$ ou $a=\theta$ ou $-a\in P$, pela tricotomia definida.
  • (caso $a\in P$) Por definição $a\circ a\in P$. Pelo exercício 8.6-b, $a\circ a=(-a)\circ (-a)\in P$.
  • (caso $a=\theta$) Assim $a\circ a=\theta \circ \theta =\theta \not \in P$.
  • (caso $-a\in P$) Por definição $-a\circ -a\in P$. Pelo exercício 8.6-b,$(-a)\circ (-a)=a\circ a\in P$.
• Logo qualquer a em K

9.2

$\iota \in P$.

9.3

$\forall \;a\in K,a^{2}\neq -\iota$

10

Prove a proposição 3.6

11

Prove a proposição 5.4

12

Seja K um corpo ordenado.

• (a) Usando os axioma de Peano, mostre que existe uma aplicação injetiva $\Psi :\mathbb {N} \mapsto K$, tal que $\Psi (1)=\iota$, onde $\iota$ é o elemento neutro de multiplicação $\circ$ em K e satisfaz $\Psi (m+n)=\Psi (m)\star \Psi (n)\;e\;\Psi (m\cdot n)=\Psi (m)\circ \Psi (n).Denotaremospor{\mathcal {N}}=\Psi (\mathbb {N} )$
• (b) Dizemos que o corpo K ordenado é arquimediano se, para todo $x\in K$, existe $a\in {\mathcal {N}}$ tal que $x<a$. Mostre as seguintes equivalências num corpo ordenado arquimediano K:
  • i) o conjunto ${\mathcal {N}}\subset K$ não é limitado superiormente.
  • ii) dados $a,b\in K$, com $a>\theta$, existe $c\in \mathbb {N}$ tal que $c\circ a>b$.
  • iii) Para cada $a>\theta$ de K, existe $c\in {\mathcal {N}}<math>talque<math>\theta <c^{-1}<a$
• (c) Prove que todo corpo ordenado completo é arquimediano.