Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA11/Lista3

1

Seja $\mathbb {Z}$ o conjunto dos números inteiros munido das operações de adição $+$ e multiplicação $\cdot$ , definamos $\Gamma =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ pares ordenados de números inteiros com a segunda componente diferente de zero, seja a relação $\sim$ definido em $\Gamma$ por:

$(m,n)\sim (p,q)\Leftrightarrow m\cdot q=n\cdot p$.

1a

Mostre que $\sim$ é uma relação de equivalência em $\Gamma$.

• reflexiva
  • $\forall \;(a,b)\in \Gamma ,(a,b)\sim (a,b)\Leftrightarrow a\cdot b=b\cdot a$. Como $a,b\in \mathbb {Z}$ que é comutativo, logo vale a reflexividade.
• simétrica
  • Dado $(a,b),(c,d)\in \Gamma ,(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c$. Como $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$, logo vale a propriedade comutativa. Assim $d\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow (c,d)\sim (a,b)$.
• transitiva
  • Dado $(a,b),(c,d),(e,f)\in \Gamma ,(a,b)\sim (c,d)\;e\;(c,d)\sim (e,f)\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c\;e\;c\cdot f=d\cdot e$.
  • Como $a\cdot d\cdot f=b\cdot c\cdot f\;e\;b\cdot c\cdot f=b\cdot d\cdot e\Rightarrow a\cdot d\cdot f=b\cdot d\cdot e\Rightarrow a\cdot f=b\cdot e\Rightarrow (a,b)\sim (e,f)$.

1b

Descreva-se os elementos das classes de equivalência $[(m,1)]$ para todo $m\in \mathbb {Z}$.

• Dado $(a,b)\in [(m,1)]\Rightarrow (a,b)\sim (m,1)\Rightarrow a=b\cdot m\Rightarrow (a,b)=(bm,b)$
• Assim $[(m,1)]=\{x\in \Gamma :x=(b\cdot m,b):b\in (\mathbb {Z} \setminus \{0\}),m\in \mathbb {Z} \}=$
• $=\{x\in \Gamma :x=...,(-2m,-2),(-m,-1),(m,1),(2m,2),...:\forall \;m\in \mathbb {Z} \}$
• Exemplo $[(5,1)]=\{...,(-15,-3),(-10,-2),(-5,-1),(5,1),(10,2),(15,3),...\}$

2

Denotamos por $\mathbb {Q}$ o conjunto das classes de equivalência $\Gamma /\sim$ ( Conjunto Quociente) e definimos as aplicações $\oplus ,\otimes :\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \mapsto \mathbb {Q}$, onde:

$[(m,n)]\oplus [(p,q)]=[(m\cdot q+n\cdot p,n\cdot q)]$
$[(m,n)]\otimes [(p,q)]=[(m\cdot p,n\cdot q)]$

2a

Mostre que estas operações binárias não dependem do representante de classe, isto é, se $[(m,n)]=[(n',m')]$ e $[(p,q)]=[(p',q')]$, então $[(m,n)]\oplus [(p,q)]=[(m',n')]\oplus [(p',q')]$ e $[(m,n)]\odot [(p,q)]=[(m',n')]\odot [(p',q')]$.

2b

Prove-se as propriedades associativas e comutativas para as operações $\oplus$ e $\otimes$, isto é:

2b1

• A $\oplus$ é associativa em $\mathbb {Q}$ se, e somente se, dados $x,y,z\in \mathbb {Q}$ quaisquer, teremos que $x\oplus (y\oplus z)=(x\oplus y)\oplus z$.
• Sejam $x=[(a,b)],y=[(c,d)],z=[(e,f)],a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Z} ,com\;b,d,f\neq 0$

• Assim $x\oplus (y\oplus z)=(x\oplus y)\oplus z\Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\oplus ([(c,d)]\oplus [(e,f)])=([a,b]\oplus [(c,d)])\oplus [(e,f)]\Leftrightarrow _{2}$
• $\Leftrightarrow _{2}[(a,b)]\oplus [(cf+de,df)]=[(ad+bc,bd)]\oplus [(e,f)]\Leftrightarrow _{3}[(a(df)+b(cf+de),b(df))]\Leftrightarrow _{4}$
• $\Leftrightarrow _{4}[a(df)+b(cf+de)]\cdot (bd)f=b(df)\cdot [(ad+bc)f+(bd)e]\Leftrightarrow _{4}[((ad+bc)f+(bd)e,(bd)f)]\Leftrightarrow _{5}$.
• $\Leftrightarrow _{5}a(df)+b(cf)+b(de)=a(df)+b(cf)+b(de)$
  • onde as duplas implicações 1,2,3,4 ocorrem pela definição em $\mathbb {Q}$ e a dupla implicação 5 ocorre pela lei do corte e associatividade da multiplicação em $\mathbb {Z}$.
• Logo a soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$ é associativa.

2b2

• $\otimes$ é associativo em $\mathbb {Q}$ se, e somente se, dados $x,y,z\in \mathbb {Q}$ quaisquer, teremos que $x\otimes (y\otimes z)=(x\otimes y)\otimes z$
• Sejam $x=[(a,b)],y=[(c,d)],z=[(e,f)],a,b,c,d,e,f\in \mathbb {Z} ,com\;b,d,f\neq 0$
• Assim $x\otimes (y\otimes z)=(x\otimes y)\otimes z\Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\otimes ([(c,d)]\otimes [(e,f)])=([a,b]\otimes [(c,d)])\otimes [(e,f)]\Leftrightarrow _{2}$
• $\Leftrightarrow _{2}[(a,b)]\otimes [(ce,df)]=[(ac,bd)]\otimes [(e,f)]\Leftrightarrow _{3}[(a(ce),b(df))]=[((ac)e,(bd)f)]\Leftrightarrow _{4}$.
• $\Leftrightarrow _{4}a(ce)\cdot (bd)f=b(df)\cdot (ac)e$
  • as duplas implicações 1,2,3 ocorrem pela definição em $\mathbb {Q}$ e a dupla implicação 4 ocorre pela associatividade de $\mathbb {Z}$ ou pela lei do corte da multiplicação em $\mathbb {Z}$.
• Logo o produto $\otimes$ em $\mathbb {Q}$ é associativa.

2b3

• A soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$ é Comutativa se, e somente se, $\forall x,y\in \mathbb {Q} :x\oplus y=y\oplus x$
• Sejam $x=[(a,b)],y=[(c,d)],a,b,c,d,\in \mathbb {Z} ,com\;b,d\neq 0$
• Assim $x\oplus y=_{1}[(a,b)]\oplus [c,d)]=_{2}[(ad+bc,bd)]=_{3}([da+cb,db]=_{4}[(c,d)])\oplus [(a,b)]=_{5}y\oplus x$
  • onde as igualdades 1,5 ocorrem pela definição em $\mathbb {Q}$, as igualdades 2,4 ocorrem pela soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, a igualdade 3 é pela comutatividade em $\mathbb {Z}$
• Logo a soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$ é comutativa.

2b4

• A multiplicação $\otimes$ é comutativa em $\mathbb {Q}$ se, e somente se, $\forall x,y\in \mathbb {Q} :x\otimes y=y\otimes x$
• Sejam $x=[(a,b)],y=[(c,d)],a,b,c,d,\in \mathbb {Z} ,com\;b,d\neq 0$
• Assim $x\otimes y=_{1}[(a,b)]\otimes [(c,d)]=_{2}[(ac,bd)]=_{3}([ca,db]=_{4}[(c,d)])\otimes [(a,b)]=_{5}y\otimes x$
  • onde as igualdades 1,5 ocorrem por definição em $\mathbb {Q}$, as igualdades 2,4 ocorrem pela multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, a igualdade 3 pela multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Z}$.
• Logo a multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$ é comutativa.

3

Prove a existência do elemento neutro $\theta$ para a soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, isto é, $x\oplus \theta =\theta \oplus x=x$ para todo $x\in \mathbb {Q}$.

• Sejam $x,\theta \in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],\theta =[(p,q)]$.
• Assim $x\oplus \theta =x\Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\oplus [(p,q)]=[(a,b)]\Leftrightarrow _{2}[(aq+bp,bq)]=[(a,b)]\Leftrightarrow _{3}(aq+bp)\cdot b=bq\cdot a\Leftrightarrow _{4}$
  • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 é pela definição da soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 3 é pela definição de relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$, as duplas implicações 4,5 ocorrem pelas leis do corte em $\mathbb {Z}$.
• Assim $aq+bp=qa\Leftrightarrow _{6}bp=0\Leftrightarrow _{5}=0\Rightarrow b=0$ ou $p=0$. Como $b\in (\mathbb {Z} \setminus {0}),$ logo $p=0$.
• Portanto existe elemento neutro $\theta$ para a soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, onde $\theta =[(0,q)],\forall \;q\in (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$.
• Vamos mostrar que $\theta =[(0,1)]$, assim $\theta =[(0,q)]=[(0,1)]\Rightarrow 0\cdot 1=q\cdot 0$. Verdade.
• Portanto $\theta =[(0,1)]$

4

Prove a existência do elemento neutro $\mathrm {I}$ para o produto $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, isto é, $x\otimes \mathrm {I} =\mathrm {I} \otimes x=x$ para todo $x\in \mathbb {Q}$.

• Sejam $x,\mathrm {I} \in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],\mathrm {I} =[(p,q)]$.

• Assim $x\otimes \theta =x\Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\otimes [(p,q)]=[(a,b)]\Leftrightarrow _{2}[(ap,bq)]=[(a,b)]\Leftrightarrow _{3}apb=bqa\Leftrightarrow _{4}p=q$.

• • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 ocorre pela definição do produto $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 3 ocorre pela relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$, as duplas implicação 4 ocorre pela lei do corte em $\mathbb {Z}$.
• Portanto existe elemento neutro para a multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, onde $\mathrm {I} =[(p,q)]=[(q,q)]$, com $q\in (\mathbb {Z} \setminus {0}),$.
• Vamos mostrar que $\mathrm {I} =[(1,1)]$, assim $\mathrm {I} =[(q,q)]=[(1,1)]\Rightarrow q\cdot 1=q\cdot 1$. Verdade.
• Portanto $\mathrm {I} =[(1,1)]$

5

Mostre que existe o elemento inverso para a soma $\oplus$, isto é, para todo $x\in \mathbb {Q}$, existe $y\in \mathbb {Q}$ tal que $x\oplus y=y\oplus x=\theta$.

• Sejam $x,y\in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],x=[(c,d)],\theta =[(0,1)]$.
• Assim $x\oplus y=\theta \Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\oplus [(c,d)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{2}[(ad+bc,bd)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{3}(ad+bc)\cdot 1=bd\cdot 0\Leftrightarrow _{4}$.
• $\Leftrightarrow _{4}ad+bc=0=ad-ad\Leftrightarrow _{5}$
  • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 é pela definição da soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 3 é pela definição de relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$, a dupla implicação 4 ocorre pela distributividades em $\mathbb {Z}$ e a dupla implicação 5 ocorre pela lei do corte em $\mathbb {Z}$.
• Assim $c=-ad\Rightarrow [(c,d)]=[(-a,b)]=y$.
• Portanto existe elemento inverso para a soma $\oplus$ em $\mathbb {Q}$, onde dado $x\in \mathbb {Q}$, "-x" $=[(-a,b)],\forall \;a,b\in \mathbb {Z} ,com\;b\neq 0$.

6

Mostre que existe elemento inverso para a multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, isto é, para todo $x\in \mathbb {Q}$, existe $y\in \mathbb {Q}$ tal que $x\otimes y=y\otimes x=\mathrm {I}$.

• Sejam $x,y\in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],y=[(c,d)],\mathrm {I} =[(1,1)]$.
• Assim $x\otimes y=\mathrm {I} \Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\otimes [(c,d)]=[(1,1)]\Leftrightarrow _{2}[(ac,bd)]=[(1,1)]\Leftrightarrow _{3}ac\cdot 1=bd\cdot 1\Leftrightarrow _{4}ac=bd$.
  • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 é pela definição da multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 3 é pela definição de relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$ e a dupla implicação 4 ocorre pela multiplicação em $\mathbb {Z}$.
• Assim $ac=bd\Leftrightarrow [(c,d)]=[(b,a)]=y$.
• Portanto existe elemento inverso para a multiplicação $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, onde dado $x=[(a,b)]\in \mathbb {Q}$, então "$y=x^{-1}$" $=[(b,a)],\forall \;a,b\in \mathbb {Z} ,com\;b\neq 0$.

7

Mostre que $x\otimes \theta =\theta \otimes x=\theta$, para todo $x\in \mathbb {Q}$.

• Sejam $x,\theta \in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],\theta =[(0,1)]$.
• Assim $x\otimes \theta =\theta \Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\otimes [(0,1)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{2}[(a\cdot 0,b\cdot 1)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{3}[(0,b)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{4}0\cdot 1=b\cdot 0$
• $\Leftrightarrow _{5}0=0$.
  • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 ocorre pela definição do produto $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, as duplas implicações 3,5 ocorrem pelo produto nos inteiros, a dupla implicação 4 ocorre pela relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$.
• Como x foi tomado de modo arbitrário em $\mathbb {Q}$, logo $x\otimes \theta =\theta \otimes x=\theta$, para todo $x\in \mathbb {Q}$

8

Mostre em $\mathbb {Q}$, se $x\otimes y=\theta$, então $x=\theta \;ou\;y=\theta$. Esta propriedade diz que $\mathbb {Q}$ não possui divisores de zero.

• Sejam $x,y\in \mathbb {Q}$, tal que $x=[(a,b)],y=[(c,d)],\theta =[(0,1)]$.
• Assim $x\otimes y=\theta \Leftrightarrow _{1}[(a,b)]\otimes [(c,d)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{2}[(a\cdot c,b\cdot d)]=[(0,1)]\Leftrightarrow _{3}ac\cdot 1=bd\cdot 0\Leftrightarrow _{4}ac=0$.
  • onde a dupla implicação 1 ocorre por definição em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 2 ocorre pela definição do produto $\otimes$ em $\mathbb {Q}$, a dupla implicação 3 ocorre pela relação de equivalência $\sim$ em $\Gamma$, a dupla implicação 4 ocorre pelo produto nos inteiros.
• Vamos usar na equação $ac=0$ a tricotomia sobre a e c, onde: $a=c\;ou\;a<c\;ou\;a>c$
• Caso a<c, existe um inteiro k tal que $a+k=c$. Assim $ac=0\Leftrightarrow _{5}a\cdot (a+k)=0\Leftrightarrow _{6}aa+ak=ak-ak\Leftrightarrow _{7}aa=-ak\Leftrightarrow _{8}a=-k$.
  • Assim $a+k=c\Leftrightarrow _{9}c=-k+k\Leftrightarrow _{10}c=0$. Logo $y=[(c,d)]=[(0,d)]=[(0,1)]=\theta$
    • onde a dupla implicação 5 ocorre pela desigualdade dos inteiros, onde a dupla implicação 6 ocorre pela distributiva, pelo inverso aditivo e elemento neutro da soma dos inteiros, onde as duplas implicações 7,8 ocorrem pela lei do corte nos inteiros, a dupla implicação 9 ocorre pela substituição do valor de "a" e a dupla implicação 10 ocorre pelo inverso aditivo e elemento neutro da soma dos inteiros.
• Caso c<a, analogamente teríamos $x=[(a,b)]=[(0,b)]=[(0,1)]=\theta$
• Caso c=a, suponhamos por contradição que $a=c\neq 0\Rightarrow a=c\geq 1\;ou\;a=c\leq 1.$
  • Caso $a=c\geq 1\Rightarrow a\geq 1,c\geq 1\Rightarrow ac\geq 1.$ Absurdo, pois tinhamos que ac=0
  • Caso $a=c\leq -1\Rightarrow a\leq -1,c\leq -1\Rightarrow ac\geq 1.$ Absurdo, pois tinhamos que ac=0.
  • Logo $a=0\;ou\;c=0\Rightarrow x=[(0,1)]=\theta \;ou\;y=[(0,1)]=\theta$
• Portanto $x=\theta \;ou\;y=\theta$.

9

9. Sejam o subconjunto ${\mathfrak {Z}}\subset \mathbb {Q} ,onde\;{\mathfrak {Z}}=\{[(m,1)]:m\in \mathbb {Z} \}$ e a aplicação $\Psi :\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Q}$, definida por $\Psi (m)=[(m,1)]$.

9a1

(a1) Mostre que $\Psi$ é injetivo.

• $\Psi$ é injetivo se, e somente se, $\forall \;\Psi (p),\Psi (q)\in \Psi (\mathbb {Z} ),\Psi (p)=\Psi (q)\Rightarrow p=q$.
• Mas por definição de $\Psi ,\Psi (p)=[(p,1)],\Psi (q)=[(q,1)].$
• Tomando $\Psi (p)=\Psi (q)\Rightarrow [(p,1)]=[(q,1)]\Rightarrow (p,1)\sim (q,1)\Rightarrow p\cdot 1=1\cdot q\Rightarrow p=q$.
• Portanto $\Psi$ é injetivo.

9a2

(a2) Mostre que $\Psi (\mathbb {Z} )={\mathfrak {Z}}$.

• $\Psi (\mathbb {Z} )={\mathfrak {Z}}$ se, e somente se, $\Psi (\mathbb {Z} )\subset {\mathfrak {Z}}\;e\;{\mathfrak {Z}}\subset \Psi (\mathbb {Z} )$.
• Vamos mostrar que $\Psi (\mathbb {Z} )\subset {\mathfrak {Z}}$. Tome $y\in \Psi (\mathbb {Z} )\Rightarrow \exists \;x\in \mathbb {Z} ,tal\;que\;y=\Psi (x)=[(x,1)],$. Como $x\in \mathbb {Z}$, logo $y=[(x,1)]\in {\mathfrak {Z}}$.
• Suponha que ${\mathfrak {Z}}\subset \Psi (\mathbb {Z} )$. Tome $y\in {\mathfrak {Z}}\Rightarrow y=[(x,1)]$, para algum $x\in \mathbb {Z}$. Mas $x\in \mathbb {Z} \Rightarrow \Psi (x)\in \Psi (\mathbb {Z} ),onde\;\Psi (x)=[(x,1)]=y,logo\;y\in \Psi (\mathbb {Z} )$.
• Portanto, $\Psi (\mathbb {Z} )={\mathfrak {Z}}$.

9b1

(b1) Mostre que $\Psi (x+y)=\Psi (x)\oplus \Psi (y)$

• $\forall x,y\in \mathbb {Z} \Rightarrow x+y\in \mathbb {Z}$. Como $\Psi (a)=[(a,1)],\forall \;a\in \mathbb {Z}$
• Logo $\Psi (x+y)=[(x+y,1)]=[(x\cdot 1+1\cdot y,1\cdot 1)]=[(x,1)]\oplus [(y,1)]\in {\mathfrak {Z}}$.
• Dados $x,y\in \mathbb {Z} \Rightarrow \Psi (x),\Psi (y)\in \Psi (\mathbb {Z} )$, logo $\Psi (x)=[(x,1)]\;e\;\Psi (y)=[(y,1)]$.
• Assim $[(x,1)]\oplus [(y,1)]=\Psi (x)\oplus \Psi (y)$

9b2

(b2) Mostre que  $\Psi (x\cdot y)=\Psi (x)\otimes \Psi (y)$.

• $\forall x,y\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\cdot y\in \mathbb {Z}$. Como $\Psi (a)=[(a,1)],\forall \;a\in \mathbb {Z}$
• Logo $\Psi (x\cdot y)=[(x\cdot y,1)]=[(x\cdot y,1\cdot 1)]=[(x,1)]\otimes [(y,1)]\in {\mathfrak {Z}}$.
• Dados $x,y\in \mathbb {Z} \Rightarrow \Psi (x),\Psi (y)\in \Psi (\mathbb {Z} )$, logo $\Psi (x)=[(x,1)]\;e\;\Psi (y)=[(y,1)]$.
• Assim $[(x,1)]\otimes [(y,1)]=\Psi (x)\otimes \Psi (y)$

9c

Conclusão: Estas propriedades mostram que ${\mathfrak {Z}}$ e $\mathbb {Z}$são isomorfos, isto é, idênticos como estrutura algébrica.

10

Em $\mathbb {Q}$ define-se a operação quociente de racionais $\oslash :\mathbb {Q} \times (\mathbb {Q} \setminus \{\theta \})\mapsto \mathbb {Q}$ por: $x\oslash y=x\otimes y^{-1}$, onde $y^{-1}$ é o inverso multiplicativo de y. Verifique-se, $\mathbb {Q} =\{[(m,1)]\oslash [(n,1)]:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq \theta \}$ .

Mostre que a equação $2\cdot x=1$ tem solução em $\mathbb {Q}$, calcule-se a solução em $\mathbb {Q}$.

• Considere que ${\mathfrak {Z}}=\{y:y=[(m,1)]:m\in \mathbb {Z} \}$, logo $p=[(x,1)]$, para algum $x\in \mathbb {Z}$.
• Assim $2\cdot x=1\cdot 1\Leftrightarrow (x,1)\sim (1,2)\Leftrightarrow (x,1)\in [(1,2)]$
• Pela questão 6 temos que $[(1,x)]\otimes [(x,1)]=[(1,1)],\forall \;x\in \mathbb {Z}$, logo $[(1,2)]\otimes [(2,1)]=[(1,1)]$.
• Mas $(x,1)\in [(1,2)]\Rightarrow [(x,1)]=[(1,2)]\Rightarrow [(x,1)]\otimes [(2,1)]=[(1,2)]\otimes [(2,1)]\Rightarrow [(x,1)]\otimes [(2,1)]=[(2,2)]=[(1,1)]\Rightarrow x=2,ouseja$

11

11. Seja a classe $[(m,n)]$ tal que $m\cdot n>0$, verifique que, se $(p,q)\in [(m,n)]$ então $p\cdot q>0$. Seja o subconjunto $D\subset \mathbb {Q} ,D=\{[(m,n)]:m\cdot n>0\}$. Mostre que D é um cone positivo para $\mathbb {Q}$, isto é, satisfaz:

• (a) Se $x,y\in D$, então $x\oplus y$ e $x\otimes y\in D$
• (b) Os subconjuntos $D,D-=\{-x:x\in D\}$ e $\{\theta \}$ são disjuntos dois a dois.
• (c) $Q=D\cup D^{-}\cup \{\theta \}$.

12

12. A existência de um cone positivo numa estrutura algébrica, permite definir uma relação de ordem no conjunto numérico, por exemplo em $\mathbb {Q}$, definimos a relação de ordem:

$x\preceq y\Leftrightarrow [y\oplus (-x)\in D\;ou\;x=y]$ .

Equivalentemente denota-se também por $y\succeq x$. Prove que $\preceq$ satisfaz as seguintes propriedades:

• i) $x\preceq x$, para $todo\;x\in \mathbb {Q}$.
• ii) Se $x\preceq y\;e\;y\preceq x$, então $x=y$.
• iii) Se $x\preceq y$ e $y\preceq z$, então $x\preceq z$

13

Mostre-se que, se $x\neq 0$, então </math>x^2 = x \otimes x \in D.</math>

14

Mostre-se que a equação $x^{2}=x\otimes x=[(2,1)]$, não tem solução em $\mathbb {Q}$