Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA11/Lista1

Questão 1

Por definição $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Dados os conjuntos $A=\{x\in \mathbb {Z} :x=2k:k\in \mathbb {Z} \}\;e\;B=\{y\in \mathbb {Z} :y=3j:j\in \mathbb {Z} \}$. Descreva-se o conjunto $A\triangle B$

• Vamos mostrar que $A=2\mathbb {Z} \;e\;B=3\mathbb {Z}$
  • Ao observarmos a definição dos conjuntos $2\mathbb {Z} =\{x\in \mathbb {Z} :x=2k,onde\;k\in \mathbb {Z} \}\;e\;3\mathbb {Z} =\{y\in \mathbb {Z} :y=3j,onde\;j\in \mathbb {Z} \}$, coincide com a propriedade dos conjuntos A e B respectivamente, assim $A=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}=2\mathbb {Z} \;e\;B=\{...,-6,-3,0,3,6,...\}=3\mathbb {Z}$.

Definição 1: $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

• Como consequência da definição 1 e da observação acima: $A\triangle B=(2\mathbb {Z} \setminus 3\mathbb {Z} )\cup (3\mathbb {Z} \setminus 2\mathbb {Z} )$.

Axioma 1: $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$.
Axioma 2: $2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} =6\mathbb {Z}$

• Pelos axiomas 1 e 2: $2\mathbb {Z} \setminus 3\mathbb {Z} =2\mathbb {Z} \setminus (2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} )=2\mathbb {Z} \setminus 6\mathbb {Z} \;e\;3\mathbb {Z} \setminus 2\mathbb {Z} =3\mathbb {Z} \setminus (3\mathbb {Z} \cap 2\mathbb {Z} )=3\mathbb {Z} \setminus 6\mathbb {Z}$.

Axioma 3 $(A\setminus C)\cup (B\setminus C)=(A\cup B)\setminus C$.

• Pelo Axioma 3 $A\triangle B=(2\mathbb {Z} \setminus 3\mathbb {Z} )\cup (3\mathbb {Z} \setminus 2\mathbb {Z} )=(2\mathbb {Z} \setminus 6\mathbb {Z} )\cup (3\mathbb {Z} \setminus 6\mathbb {Z} )=(2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} )\setminus 6\mathbb {Z} )$.
• Como $\mathbb {Z} _{6}=\{n\in \mathbb {Z} _{6}:n=6k+r,comr=0,1,2,3,4,5\}$
• Portanto $(2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} )\setminus 6\mathbb {Z} )=\{n\in \mathbb {Z} :n=6k+r,comr=2,3,4\}$

Corolários

Axioma 1: $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$.

• Prova: $Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}$.
  • $Como\;A\cap B\subset B\Rightarrow B^{C}\subset (A\cap B)^{C}$. Logo $x\in B^{C}\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}$.
  • $Portanto\;x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)$.
• $Tome\;x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\not \in (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}$.
  • $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B$
  • $Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow$
  • $\Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B$.
• Portanto $A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$

Axioma 2: $2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} =6\mathbb {Z}$

• Prova: Tome $x\in 2\mathbb {Z} \cap 3\mathbb {Z} \Rightarrow x\in 2\mathbb {Z} \land x\in 3\mathbb {Z} \Rightarrow x=0+2k\;para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \land x=0+3k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\equiv 0\;mod\;2\land x\equiv 0\;mod\;3$.
• Pelo teorema chinês dos restos: $x=0+2k,para\;algum\;k\in \mathbb {Z} \Rightarrow 2k\equiv 0\;mod\;3\Rightarrow 2\cdot 2k\equiv 2\cdot 0\;mod\;3\Rightarrow k\equiv 0\;mod\;3\Rightarrow k=3t,para\;algum;t\in \mathbb {Z} .$
  • $Como\;x=0+2k=0+2\cdot 3t=0+6t,para\;algum\;t\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\equiv 0\;mod\;6$. E além disso, as soluções do sistema pertencem ao conjunto $\{x\in \mathbb {Z} :x=0+6k:k\in \mathbb {Z} \}=\{...,-6,-3,0,3,6,...\}=6\mathbb {Z}$.

Axioma 3: $(A\setminus C)\cup (B\setminus C)=(A\cup B)\setminus C$.

• Prova: Temos que $(A\setminus C)\cup (B\setminus C)=\{x\in A\;e\;x\not \in C\}\cup \{x\in B\;e\;x\not \in C\}=\{x\in A\;ou\;x\in B\}\cap \{x\not \in C\}=(A\cup B)\setminus C$.

Teorema chinês dos restos: Dados $m,n\in \{z\in \mathbb {Z} ;z\geq 2\},com\;mdc(m,n)=1,a,b\in \mathbb {Z}$, temos que o sistema $\left\{{\begin{matrix}x\equiv a\;mod\;m\\x\equiv b\;mod\;n\end{matrix}}\right.$ possui uma solução $x=x_{0}\Leftrightarrow x\equiv x_{0}\;mod\;mn$. E além disso as soluções do sistema pertencem ao conjunto $\{x\in \mathbb {Z} :x=x_{0}+kmn:k\in \mathbb {Z} \}$.

Questão 1.2 - item i

Mostrar que $A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)$

• Vamos considerar que nosso conjunto universo U = $A\cup B$.
• A diferença simétrica é definida como: $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$: definição 1.
  • Usando as propriedades básicas de operações entre conjuntos: $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cap B^{C})\cup (B\cap A^{C})=[(A\cap B^{C})\cup B]\cap [(A\cap B^{C})\cup A^{C}]=$
  • $=[(A\cup B)\cap (B^{C}\cup B)]\cap [(A\cup A^{C})\cap (B^{C}\cup A^{C})]=(A\cup B)\cap (A^{C}\cup B^{C})=(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}$
  • Assim podemos definir também $A\triangle B=(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}$: definição 2.
• Pela definição 1 de diferença simétrica: $(A\triangle B)\triangle (A\cap B)=[(A\triangle B)\setminus (A\cap B)]\cup [(A\cap B)\setminus (A\triangle B)]$. Resolvendo em duas partes separadas:
• 1ª Parte: Como $(A\triangle B)\setminus (A\cap B)=[(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}]\cap (A\cap B)^{C}=(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}$
  • 2ª Parte: $(A\cap B)\setminus (A\triangle B)=[(A\cap B)\cap [(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}]^{C}=(A\cap B)\cap [(A\cup B)^{C}\cup (A\cap B)]=$ $=[(A\cap B)\cap (A\cup B)^{C}]\cup [(A\cap B)\cap (A\cap B)]=\varnothing \cup (A\cap B)=(A\cap B)=(A\cup B)\cap (A\cap B)$
• Por consequencia $(A\triangle B)\triangle (A\cap B)=[(A\cup B)\cap (A\cap B)^{C}]\cup [(A\cup B)\cap (A\cap B)]=(A\cup B)\cap [(A\cap B)^{C}\cup (A\cap B)]=A\cup B$

Questão 1.2 - item ii

Mostrar que $A\setminus B=A\;\triangle \;(A\cap B)$

• Pela definição de diferença simétrica $A\;\triangle \;(A\cap B)=[A\setminus (A\cap B)]\cup [(A\cap B)\setminus A]$
• Como:
  • $A\setminus (A\cap B)=A\cap (A\cap B)^{C}=A\cap (A^{C}\cup B^{C})=(A\cap A^{C})\cup (A\cap B^{C})=A\cap B^{C}$
  • $(A\cap B)\setminus A=(A\cap B)\cap A^{C}=(A\cap A^{C})\cap B=\varnothing$
• Logo $A\;\triangle \;(A\cap B)=[A\cap B^{C}]\cup \varnothing =A\cap B^{C}=A\setminus B$

Questão 2

Questão 2.1

Uma família de conjuntos ${\mathfrak {F}}$ é denominada um anel de conjuntos se $A\in {\mathfrak {F}}\;e\;B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\triangle B\;e\;A\cap B\in {\mathfrak {F}}$.

Prove que $\forall \;A,B\in {\mathfrak {F}},A\cup B\;e\;A\setminus B\in {\mathfrak {F}}$.

• Vamos primeiro mostrar que $A\cup B\in {\mathfrak {F}}$.
  • $A,B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\triangle B\;e\;A\cap B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow (A\triangle B)\triangle (A\cap B)\in {\mathfrak {F}}$.
  • Como $A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B),logo\;A\cup B\in {\mathfrak {F}}$.

• Vamos agora mostrar que $A\setminus B\in {\mathfrak {F}}$.
  • $A,B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\triangle B\;e\;A\cap B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\triangle (A\cap B)\in {\mathfrak {F}}$.
  • Como $A\setminus B=A\triangle (A\cap B),logo\;A\setminus B\in {\mathfrak {F}}$.

Questão 2.2

Prove que $\varnothing \in {\mathfrak {F}}$.

• Vamos mostrar que $\varnothing \in {\mathfrak {F}}$.
  • $A,B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\cap B\;e\;A\setminus B\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow B\cap (A\setminus B)\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow B\cap (A\cap B^{C})\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\cap (B\cap B^{C})\in {\mathfrak {F}}$.
  • Como $\varnothing =A\cap (B\cap B^{C}),logo\;\varnothing \in {\mathfrak {F}}$.

Questão 2.3

Sejam $n\in \mathbb {N} ,A_{1},A_{2},...,A_{n}$ subconjuntos de ${\mathfrak {F}}$. Sejam os conjuntos $C=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}\;e\;D=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}$ então C e D pertencem a ${\mathfrak {F}}$.

• Vamos mostrar que $C=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}\in {\mathfrak {F}}$ por indução sobre n.
  • Mostrar verdadeiro para quando $n=1,2:A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\in {\mathfrak {F}}$
  • Suponhamos válido para quando $n=k:A_{1},A_{2},...,A_{k}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{k}\in {\mathfrak {F}}$
  • Devemos mostrar que é válido para n=k+1:
    • $A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{k}\;e\;A_{k+1}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{k}\cup A_{k+1}\in {\mathfrak {F}}$.
  • Portanto $C=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}\in {\mathfrak {F}}$.

• Vamos mostrar que $D=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}\in {\mathfrak {F}}$ por indução sobre n.
  • Mostrar verdadeiro para quando $n=1,2:A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cap A_{2}\in {\mathfrak {F}}$
  • Suponhamos válido para quando $n=k:A_{1},A_{2},...,A_{k}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{k}\in {\mathfrak {F}}$
  • Devemos mostrar que é válido para n=k+1:
    • $A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{k}\;e\;A_{k+1}\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{k}\cap A_{k+1}\in {\mathfrak {F}}$.
  • Portanto $D=A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n}\in {\mathfrak {F}}$.

Questão 2.4

Um conjunto E chama-se unidade de uma família de subconjuntos ${\mathfrak {F}},se\;E\in {\mathfrak {F}}\;e\;\forall A\in {\mathfrak {F}},$ tem-se $A\cap E=A.$ Um anel de conjuntos que tem unidade, chama-se uma álgebra de conjuntos.

A família de todos os subconjuntos de números inteiros com k elementos, com k = 1,2,3,... é um anel de conjuntos, mas não é uma álgebra.

Prova:

• Suponha que exista um conjunto $E\in {\mathfrak {F}},tal\;que\;\forall \;A\in {\mathfrak {F}},A\cap E=A\Rightarrow \forall \;A\in {\mathfrak {F}},A\subset A\cap E.Assim\;A\subset E,\forall A\in {\mathfrak {F}}$.
  • Assim $\forall \;A\in {\mathfrak {F}},\forall \;x\in A\Rightarrow x\in E$. Logo $E\supset A,\forall A\in {\mathfrak {F}}$. Portanto $E\supset \bigcup _{A\in {\mathfrak {F}}}{A}$. Como A contém qualquer número inteiro, E deverá conter todos os números inteiros.
• Tomemos então $A\neq A_{2}\in {\mathfrak {F}},com\;k\;elementos.$ Logo $(A_{1}\cap E=A_{1})\land (A_{2}\cap E=A_{2}).$
  • Se E tivésse K elementos, $E=A_{1}=A_{2}$. Absurdo, pois tomamos dois subconjuntos diferentes de ${\mathfrak {F}}$ com k elementos.
• Portanto E não pode estar em ${\mathfrak {F}}$.

Questão 2.5

Seja A um conjunto não-vazio, a família $\{\varnothing ,A\}$, onde $\varnothing$ é um conjunto vazio, é uma álgebra de conjunto. Determine-se sua unidade.

• Vamos chamar a família de ${\mathfrak {F}}$.
• Como ${\mathfrak {F}}$ é uma álgebra de conjunto, então vale que:
  • $\varnothing ,A\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A\cap A=A\;e\;\varnothing \cap A=\varnothing$.
  • Pela definição de unidade de uma álgebra de conjunto, A é a unidade de ${\mathfrak {F}}$.