Utilizador:Thiago Marcel/Graduação/Cálculo

• ${d \over dx}[2(x^{3}-2x^{2}+5x)^{4}-3cos(5x^{2}-4x)]$
• Vamos precisar do teorema da derivada composta ${d \over dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x){\mbox{ e da }}{d \over dx}[af(x)]=af'(x)$, onde a é uma constante e f(x) e g(x) são funções.
• Vamos encaixar as funções:
  • 1) $f_{1}(x)=x^{4}{\mbox{ e }}g_{1}(x)=x^{3}-2x^{2}+5x$, logo temos que $2(x^{3}-2x^{2}+5x)^{4}=2f_{1}(g_{1}(x))$
  • 2) $f_{2}(x)=cos(x){\mbox{ e }}g_{2}(x)=5x^{2}-4x$, logo temos que $3cos(5x^{2}-4x)=3f_{2}(g_{2}(x))$
• ${d \over dx}[2(x^{3}-2x^{2}+5x)^{4}-3cos(5x^{2})]={d \over dx}[2f_{1}(g_{1}(x))-3f_{2}(g_{2}(x))=2f_{1}'(g_{1}(x))\cdot g_{1}'(x)-3f_{2}'(g_{2}(x))\cdot g_{2}'(x).$
• Mas vamos determinar as derivadas primeiro:
  • ${d \over dx}[f_{1}(x)]={d \over dx}[x^{4}]=4x^{3};{\mbox{ e também }}{d \over dx}[g_{1}(x)]={d \over dx}[x^{3}-2x^{2}+5x]=3x^{2}-4x+5$
  • ${d \over dx}[f_{2}(x)]={d \over dx}[cos(x)]=-sen(x);{\mbox{ e também }}{d \over dx}[g_{2}(x)]={d \over dx}[5x^{2}-4x]=10x-4$
• Agora vamos encaixar a função derivada:
  • $f_{1}'(g_{1}(x))=4(g_{1}(x))^{3}=4(x^{3}-2x^{2}+5x)^{3}$
  • $f_{2}'(g_{2}(x))=-sen(g_{2}(x))=-sen(5x^{2}-4x)$
• Logo $2f_{1}'(g_{1}(x))\cdot g_{1}'(x)-3f_{2}'(g_{2}(x))\cdot g_{2}'(x)=2\cdot 4(x^{3}-2x^{2}+5x)^{3}\cdot (3x^{2}-4x+5)-3\cdot (-sen(5x^{2}-4x))\cdot (10x-4).$ $8(x^{3}-2x^{2}+5x)^{3}\cdot (3x^{2}-4x+5)+3sen(5x^{2}-4x)\cdot (10x-4).$