Utilizador:Thiago Marcel/Esaex/2006/MAT

01

A função $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ é tal que, para todo $x\in \mathbb {R} ,f(5x)=5f(x){\mbox{ e }}f(25)=5$. Então:

• (A) $f(1)=5$
• (B) $f(1)=25$
• (C) $f(1)={1 \over 5}$ (verdadeira)
• (D) $f(5)=5$
• (E) $f(5)=25$

Resolução

$f(5\cdot 5)=5\cdot f(5)=5\Rightarrow f(5)=1.{\mbox{ Assim }}f(5\cdot 1)=5\cdot f(1)=1\Rightarrow f(1)={1 \over 5}$

02

A função $f(x)=2(x+1)$ representa em $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ uma reta:

• (A) paralela à reta de equação $y=5x+7$
• (B) concorrente com a reta de equação $y=2x-9$
• (C) igual à reta de equação $y=x+1$
• (D) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto $(0,2)$ (verdadeiro)
• (E) que intercepta o eixo das abcissas no ponto $(1,0)$

Resolução

• (a) coeficiente angulares diferentes
• (b) coeficiente angulares iguais
• (c) coeficiente angulares diferentes
• (d) $f(0)=2\cdot (0+1)=2$
• (e) $2\cdot (x+1)=0\Rightarrow x=-1$, intercepta o eixo das abcissas no ponto $(-1,0)$

${\displaystyle }$

03

As trajetórias ortogonais da família de parábolas $y=cx^{2}$ são as elipses:

• (A) $2x^{2}+y^{2}=k$
• (B) $4x^{2}+y^{2}=k$
• (C) $x^{2}+4y^{2}=k$
• (D) $x^{2}+3y^{2}=k$
• (E) $x^{2}+2y^{2}=k$ (verdadeiro)

Resolução

• Vamos tomar a família de parábolas $y=c\cdot x^{2}$ e derivar em relação a x: ${dy \over dx}=2xc$. Uma família de trajetória ortogonais deve ser ${dx \over dy}=-{1 \over {dy \over dx}}=-{1 \over 2xc}=-{x^{2} \over 2xy}\Rightarrow$ $\Rightarrow {dy \over dx}=-{x \over 2y}\Rightarrow 2ydy=-xdx\Rightarrow 2\cdot \int ydy=-\int xdx\Rightarrow 2\cdot {y^{2} \over 2}=-{x^{2} \over 2}+K\Rightarrow x^{2}+2y^{2}=2K=k$

04

Para que a equação $x^{2}-ax+{a^{2}-b^{2} \over 4}=0$, tenha raízes iguais, devemos ter:

• (A) $a=2b$
• (B) $a^{2}-b^{2}=0$
• (C) $a=0$
• (D) $b=0$ (verdadeiro)
• (E) $a=b$

Resolução

Devemos ter $\delta =0\Rightarrow (-a)^{2}-4\cdot 1\cdot {a^{2}-b^{2} \over 4}=0\Rightarrow a^{2}-a^{2}+b^{2}=0\Rightarrow b=0$

05

Uma primitiva para a função $2senxcosx$ é:

• (A) $cos^{2}x$
• (B) $sen^{2}x$ (verdadeiro)
• (C) $sen2x$
• (D) $cos2x$
• (E) $senx+cosx$

Resolução

$\int 2senxcosxdx=?;{\mbox{ Tome }}u=senx,du=cosxdx\Rightarrow 2\int udu=2{u^{2} \over 2}+k=(senx)^{2}+k=sen^{2}x+k$

06

As medidas dos lados de um triângulo são $x+1,2x,x^{2}-5$ e estão em progressão aritmética, nesta ordem. O perímetro do triângulo mede:

• (A) 4
• (B) 12
• (C) 8
• (D) 33
• (E) 24 (verdadeiro)

Resolução

$x+1+r=2x,2x+r=x^{2}-5\Rightarrow r=2x-(x+1)=x^{2}-5-2x\Rightarrow x^{2}-3x-4=0\Rightarrow x={3\pm {\sqrt {3^{2}-4\cdot (-4)}} \over 2}\Rightarrow x={3\pm 5 \over 2}\Rightarrow$ $\Rightarrow x=4{\mbox{ ou }}x=-1.{\mbox{ Como }}p(x)=x^{2}+3x-4\Rightarrow p(4)=24{\mbox{ e }}p(-1)=-6.{\mbox{ Mas }}p(x)>0,\Rightarrow$ o perímetro é igual a 24.

07

Dados números naturais a e b tais que a decomposição de a e b em fatores primos é dada por $a=2^{4}\cdot 3^{7}\cdot 5^{25}\cdot 7^{3}$ e $b=3^{1}\cdot 5^{2}\cdot 7^{35}$, pode-se afirmar:

• (A) a divide b
• (B) b divide a
• (C) o menor múltiplo comum m entre a e b tem decomposição em fatores primos $m=2^{7}\cdot 3^{7}\cdot 5^{25}\cdot 7^{35}$
• (D) o maior divisor comum d entre a e b tem decomposição em fatores primos $d=3^{1}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}$ (verdadeiro)
• (E) o maior divisor comum d entre a e b é 35

Resolução

Como 25>2 e 35>3, logo a não divide b e b não divide a. Mas o mmc = $2^{4}\cdot 3^{7}\cdot 5^{25}\cdot 7^{35}$ e mdc = $3^{1}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\neq 35$

08

Sabendo-se que $a^{5}+{5 \choose 1}a^{4}\cdot b+{5 \choose 2}a^{3}\cdot b^{2}+{5 \choose 3}a^{2}\cdot b^{3}+{5 \choose 4}a\cdot b^{2}+b^{5}=32$. Então $(a+b)^{3}$ vale:

• (A) 144
• (B) 64
• (C) 8 (verdadeiro)
• (D) 2
• (E) 16

Resolução

$(a+b)^{5}=2^{5}\Rightarrow (a+b)=2\Rightarrow (a+b)^{3}=2^{3}=8$

09

Se $z+{1 \over z}=-1$, então o valor do módulo de z é:

• (A) 3
• (B) 0
• (C) 1 (verdadeiro)
• (D) 2
• (E) 4

Resolução

$z+{1 \over z}=-1\Rightarrow z^{2}+1=-z\Rightarrow z^{2}+z+1=0\Rightarrow z={-1\pm {\sqrt {1-4}} \over 2}\Rightarrow z={-1-{\sqrt {3}}i \over 2}{\mbox{ ou }}z={-1+{\sqrt {3}}i \over 2}$

• $\left({-1+{\sqrt {3}}i \over 2}\right)^{2}+1=-\left({-1+{\sqrt {3}}i \over 2}\right)\Rightarrow {1-2{\sqrt {3}}i-3 \over 4}+1={+1-{\sqrt {3}}i \over 2}\Rightarrow {-1-\cdot {\sqrt {3}}i+2 \over 2}={+1-{\sqrt {3}}i \over 2}.$
• Logo $\left\|z\right\|={\sqrt {\left({-1 \over 2}\right)^{2}+\left({{\sqrt {3}} \over 2}\right)^{2}}}={\sqrt {{1 \over 4}+{3 \over 4}}}=1\Rightarrow$

10

Sabendo que $x^{+}=-1{\mbox{ e }}x^{-}=2$ são raízes da equação quadrática $ax^{2}+bx+c,{\mbox{ com }}a>0{\mbox{ e }}b^{2}-4ac>0,$ assinale a afirmativa correta.

• (A) $9a+3b+c<0$
• (B) $c>0$
• (C) $a+b+c<0$ (verdadeiro)
• (D) $4a-2b+c<0$
• (E) $4a+2b+c>0$

Resolução

$ax^{2}+bx+c=k(x-x^{-})\cdot (x-x^{+})=k(x-2)\cdot (x+1)=k(x^{2}-x-2)\Rightarrow a=k,b=-k,c=-2k;k>0$

• (a) $9k-3k-2k=4k>0$ (falso)
• (b) $-2k<0$ (falso)
• (c) $k-k-2k<0$
• (d) $4k+2k-2k>0$ (falso)
• (c) $4k-2k-2k=0$ (falso)

11

O domínio da função $f(x)=ln(x^{2}+x+1)$ é o conjunto dos números:

• (A) reais positivos
• (B) negativos
• (C) reais entre -1 e 1
• (D) reais (verdadeiro)
• (E) reais entre 0 e 1

Resolução

Vamos reescrever a função f como uma função composta: $f(x)=g(h(x));{\mbox{ onde }}g(x)=lnx,h(x)=x^{2}+x+1.{\mbox{ Assim }}g:[0,\infty [\mapsto \mathbb {R} ,h:\mathbb {R} \mapsto [{3 \over 4},\infty [\Rightarrow$ $\Rightarrow g(h(x)):\mathbb {R} \mapsto [ln{3 \over 4},\infty [\Rightarrow$ Domínio de f(x) é o conjunto dos reais.

12

Dada a equação da elipse $x^{2}+16y^{2}=16$, as medidas do eixo-maior e do eixo-menor são, respectivamente:

• (A) $2{\mbox{ e }}{1 \over 2}$
• (B) $1{\mbox{ e }}{1 \over 2}$
• (C) $4{\mbox{ e }}2$
• (D) $3{\mbox{ e }}1$
• (E) $8{\mbox{ e }}2$ (verdadeiro)

Resolução

$x^{2}+16y^{2}=16\Rightarrow {x^{2} \over 4^{2}}+{y^{2} \over 1}=1\Rightarrow$. As medidas dos semi-eixos valem 4 e 1 e dos eixos valem 8 e 2.

13

A seqüência $((a_{n}))=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ é uma progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo igual a 1. A função definida por $f(x)=ax+b$ é tal que $((f(a_{n})))=\{f(a_{1}),f(a_{2}),...,f(a_{n})\}$ é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo igual a 4. Então $f(2)$ vale:

• (A) 5
• (B) 7 (verdadeiro)
• (C) 8
• (D) 11
• (E) 33

Resolução

$((a_{n}))=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}=\{1,3,5,...,a_{n}\};((f(a_{n})))=\{f(1),f(3),f(5),...,f(a_{n})\}=\{4,10,16,...,f(a_{n})\}$.

• Mas $f(1)=a+b=4,f(3)=3a+b=10\Rightarrow a=3,b=1\Rightarrow f(x)=3x+1\Rightarrow f(2)=3\cdot 2+1=7$

14

A área limitada pelo gráfico da função $y={lnx \over x}$ e as retas $x=1{\mbox{ e }}x=e$ é igual a:

• (A) $2$
• (B) ${1 \over 2}$ (verdadeiro)
• (C) $ln2$
• (D) ${3 \over 2}$
• (E) $ln3$

Resolução

$\int _{x=1}^{x=e}{lnx \over x}dx=T,u(x)=lnx,du={1 \over x}dx,u(1)=0,u(e)=1\Rightarrow T=\int _{u=0}^{u=1}udu={u^{2} \over 2}{\bigg |}_{u=0}^{u=1}={1^{2} \over 2}-{0^{2} \over 2}={1 \over 2}$ ${\displaystyle }$

15

Considere a seqüência infinita de cilindros circulares retos $\{c_{1},c_{2},...,c_{n},...\}$ com base em um círculo de raio 1, e a altura de $c_{i}$ igual à metade da altura de $c_{i-1}$, para todo i (altura de $c_{2}$ é igual à metade da altura de $c_{1}$, altura de $c_{3}$ é igual à metade da altura de $c_{2}$, e assim por diante). Se a altura de $c_{1}$ é 1, então a soma dos volumes dos cilindros é:

• (A) $\pi ^{2}$
• (B) $5\pi$
• (C) $\pi$
• (D) $1$
• (E) $2\pi$ (verdadeiro)

Resolução

Seja $V(c_{i})=\pi \cdot r(c_{i})^{2}\cdot H(c_{i}),\forall i\in \mathbb {N}$. Logo $\sum _{i=1}^{n}V(c_{i})=\pi \cdot r(c_{1})^{2}\cdot H(c_{1})+\pi \cdot r(c_{2})^{2}\cdot H(c_{2})+...+\pi \cdot r(c_{i})^{2}\cdot H(c_{i})+...\Rightarrow$ $\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}V(c_{i})=\pi \cdot (H(c_{1})+H(c_{2})+...+H(c_{n})+...)=\pi \cdot (1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+...)$.

• Mas $S_{n}={a_{1} \over 1-q}$ Logo $\sum _{i=1}^{n}V(c_{i})=\pi \cdot {1 \over 1-{1 \over 2}}=\pi \cdot {1 \over {1 \over 2}}=2\pi$

16

A solução do problema de valor inicial ${dy \over dx}=-y(x^{2}+1);y(-1)=1$, é:

• (A) $y=e^{-{x^{3}+3x+4 \over 3}}$ (verdadeiro)
• (B) $y=e^{x^{3}+3x+4 \over 3}$
• (C) $y=e^{-{x^{3}-3x+4 \over 3}}$
• (D) $y=e^{-{x^{3}+3x-4 \over 3}}$
• (E) $y=e^{x^{3}-3x+4 \over 3}$

Resolução

${1 \over -y}\cdot dy=(x^{2}+1)\cdot dx\Rightarrow -\int {1 \over y}\cdot dy=\int (x^{2}+1)dx\Rightarrow -lny={x^{3} \over 3}+1x+k\Rightarrow y=e^{-{x^{3}+3x+3k \over 3}}$. Mas $y(-1)=1{\mbox{ e }}-lny={x^{3}+3x+3k \over 3}\Rightarrow$ $\Rightarrow -ln1={(-1)^{3}+3(-1)+3k \over 3}\Rightarrow -0={-1-3+3k \over 3}\Rightarrow 0=-1-3+3k\Rightarrow k={4 \over 3}\Rightarrow y=e^{-{x^{3}+3x+4 \over 3}}$

17

Para $n\in \mathbb {N} ,n\geq 2$, a expressão $n^{2}\cdot (n-2)!\cdot (1-{1 \over n})$ vale:

• (A) $n!$ (verdadeiro)
• (B) $(n-1)!$
• (C) $(n+1)!$
• (D) $n(n+1)!$
• (E) $(n-2)!$

Resolução

$n^{2}\cdot (n-2)!\cdot (1-{1 \over n})=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!=n!$

18

A expressão $({e^{x}+e^{-x} \over 2})^{2}-({e^{x}-e^{-x} \over 2})^{2}$ é igual a:

• (A) $e^{2x}$
• (B) $e^{-x}$
• (C) $e^{x}$
• (D) 1 (verdadeiro)
• (E) 0

Resolução

$({e^{x}+e^{-x} \over 2})^{2}-({e^{x}-e^{-x} \over 2})^{2}={e^{2x}+2e^{x-x}+e^{-2x} \over 4}-{e^{2x}-2e^{x-x}+e^{-2x} \over 4}={e^{2x}+2e^{0}+e^{-2x}-e^{2x}+2e^{0}-e^{-2x} \over 4}={2+2 \over 4}={4 \over 4}=1$

19

Sobre a função $f(x)=1,{\mbox{ se }}x\leq 3{\mbox{ e }}f(x)={\sqrt {x-3}},{\mbox{ se }}x>3$, pode-se afirmar:

• (A) é contínua em $\mathbb {R}$
• (B) é descontínua em x = 3 (verdadeiro)
• (C) é contínua somente para x > 3
• (D) é contínua somente para $x\leq 3$
• (E) é descontínua em $\mathbb {R}$

Resolução

$\lim _{x\to 3^{-}}f(x)=1{\mbox{ e }}\lim _{x\to 3^{+}}f(x)={\sqrt {3-3}}=0\Rightarrow$ é descontínua em x = 3.

20

O valor do $\lim _{x\to 0}{e^{x}-\operatorname {sen} x-\cos x \over 2\operatorname {sen} ^{2}x}$ é:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) ${1 \over 2}$ (verdadeiro)
• (E) $-{1 \over 2}$

Resolução

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-\operatorname {sen} x-\cos x \over 2\operatorname {sen} ^{2}x}=\lim _{x\to 0}{{d \over dx}(e^{x}-\operatorname {sen} x-\cos x) \over {d \over dx}(2\operatorname {sen} ^{2}x)}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-\cos x+\operatorname {sen} x \over 4\operatorname {sen} x\cdot \cos x}=\lim _{x\to 0}{{d \over dx}(e^{x}-\cos x+\operatorname {sen} x) \over {d \over dx}(4\operatorname {sen} x\cdot \cos x)}=\lim _{x\to 0}{e^{x}+\operatorname {sen} x+\cos x \over 4\cdot (\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}x)}=$ $={e^{0}+\operatorname {sen} 0+\cos 0 \over 4\cdot (\cos ^{2}0-\operatorname {sen} ^{2}0)}={1+0+1 \over 4\cdot (1-0)}={1 \over 2}$

21

As equações de 2° grau $ax^{2}+bx+c=0{\mbox{ e }}mx^{2}+nx+p=0$ têm as mesmas raízes. Então:

• (A) a = m
• (B) $b^{2}-4ac=m^{2}-4np$
• (C) ${-b \over 2a}=-{n \over 2m}$ (verdadeiro)
• (D) $x=0$ é raiz de ambas as equações
• (E) $c=p$

Resolução

Como as equações têm as mesmas raízes As raízes são $x=-{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}={-n\pm {\sqrt {n^{2}-4mp}} \over 2m}\Rightarrow {-b \over 2a}={-n \over 2m}$

22

Dadas as retas perpendiculares de equações $y=ax+b$ e $y=mx+n$, a afirmativa correta é:

• (A) $a=m$
• (B) $a=-m$
• (C) $a={1 \over m}$
• (D) $a\cdot m=-1$ (verdadeiro)
• (E) $a\cdot m=1$

Resolução

$a\cdot m=-1$

23

A equação da reta que passa pelo centro da circunferência $\lambda :2x^{2}+2y^{2}-8x-16y+24=0$ é paralela à reta $r:-8x+2y-2=0$ é:

• (A) $y=2x$
• (B) $y=4(x-1)$ (verdadeiro)
• (C) $y=x+2$
• (D) $y=3x-2$
• (E) $y=4x-1$

Resolução

Vamos determinar o centro e raio da $\lambda :x^{2}-4x+y^{2}-8y=-12\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-8y+16=-12+4+16\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=8\Rightarrow C_{\lambda }(+2,+4),r_{\lambda }={\sqrt {8}}.$ Seja s paralela a $r:y=4x+1$, logo $s:y=4x+k{\mbox{ como }}C_{\lambda }\in s\Rightarrow 4=4\cdot 2+k\Rightarrow k=-4\Rightarrow s:y=4x-4\Rightarrow s:y=4\cdot (x-1)$

24

Se x é racional e y é irracional, então:

• (A) $x\cdot y$ é racional.
• (B) $y\cdot y$ é irracional.
• (C) $x+y$ é racional.
• (D) $x-y+{\sqrt {2}}$ é irracional.
• (E) $x+2y$ é irracional. (verdadeiro)

Resolução

• (a)Seja $A=\{x\cdot y;x\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}.{\mbox{ Tome }}2\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow 2\cdot {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow A\cap \mathbb {R} -\mathbb {Q} \neq \varnothing .$
• (b)Seja $B=\{y\cdot y;y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}.{\mbox{ Tome }}{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=2\in \mathbb {Q} \Rightarrow B\cap \mathbb {Q} \neq \varnothing .$
• (c)Seja $C=\{x+y;x\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}.{\mbox{ Tome }}2\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow 2+{\sqrt {2}}=2+{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow C\cap \mathbb {R} -\mathbb {Q} \neq \varnothing .$
• (d)Seja $D=\{x-y+{\sqrt {2}};x\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}.{\mbox{ Tome }}2\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}{\sqrt {2}}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow 2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2\in \mathbb {Q} \Rightarrow D\cap \mathbb {Q} \neq \varnothing .$
• (e)Seja $E=\{x+2y;x\in \mathbb {Q} {\mbox{ e }}y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}.{\mbox{ Tome }}y\in \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow 2\cdot y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} .{\mbox{ Como }}x+2y\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \Rightarrow E\cap \mathbb {Q} =\varnothing .$

25

A parábola de equação $\lambda :2x^{2}+y=bx+c$ passa pelo ponto $Q=(1,0)$ e seu vértice é o ponto de coordenadas $V=(3,t)$. Então t é igual a:

• (A) 8 (verdadeiro)
• (B) -4
• (C) 6
• (D) -5
• (E) 1

Resolução

De fato $y=-2x^{2}+bx+c\Rightarrow a=-2,b=b,c=c$ Como $Q\in \lambda \Rightarrow 2\cdot 1^{2}+0=b\cdot 1+c\Rightarrow b+c=2$. Entretanto $x_{V}=3\Rightarrow {-b \over 2\cdot a}=3\Rightarrow$ $\Rightarrow {-b \over 2\cdot (-2)}=3\Rightarrow b=12.$ Como $c=2-b\Rightarrow c=2-12=-10.{\mbox{ Logo }}y_{V}={-(b^{2}-4ac) \over 4a}=t\Rightarrow t={-(12^{2}-4\cdot (-2)\cdot (-10)) \over 4\cdot (-2)}\Rightarrow$ $\Rightarrow t={144-80 \over 8}=8.$

26

O triângulo determinado pelas retas r, s, t de equações descritas abaixo é:

$r:x-1=0;s:y=x;t:x+y-4=0$

${\displaystyle }$

• (A) equilátero.
• (B) retângulo. (verdadeiro)
• (C) obtusângulo.
• (D) acutângulo.
• (E) inscrito numa circunferência de centro na origem.

Resolução

Vamos determinar as intersecções:

• $r(P)=s(P):x_{P}=1;y_{P}=x_{P}\Rightarrow P=(1,1)$
• $r(Q)=t(Q):x_{Q}=1;y_{Q}=4-x_{Q}\Rightarrow y_{Q}=4-1=3\Rightarrow Q=(1,3)$
• $s(R)=t(R):y_{R}=x_{R};y_{R}=4-x_{R}\Rightarrow x_{R}=4-x_{R}\Rightarrow 2\cdot x_{R}=4\Rightarrow x_{R}={4 \over 2}=2\Rightarrow R=(2,2)$
• $D(P,R)={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}=D(Q,R);D(P,Q)=2.$ Seja T o ponto médio entre P e Q. Assim PTR é um triângulo retângulo, como $cos({\widehat {RPT}})={1 \over {\sqrt {2}}}={{\sqrt {2}} \over 2}\Rightarrow {\widehat {RPT}}=45^{\circ }\Rightarrow {\widehat {PRT}}=45^{\circ }.$ Analogamente ${\widehat {QRT}}=45^{\circ }={\widehat {RQT}}\Rightarrow {\widehat {PRQ}}=90^{\circ }\Rightarrow {\overline {PQR}}$ é um triângulo retângulo.

27

Sejam $D=\{x\in \mathbb {R} ;x\neq \ln({n\pi \over 2}),n\in \mathbb {N} \}{\mbox{ e }}f:D\mapsto \mathbb {R}$ a função definida por $f(x)={\operatorname {sen}(3\cdot e^{x}) \over \operatorname {sen}(e^{x})}-{\cos(3\cdot e^{x}) \over \cos(e^{x})}.$ Então:

• (A) $f(x)=3,\forall x\in D$
• (B) $f(x)=e^{3},\forall x\in D$
• (C) $f(x)=2,\forall x\in D$ (verdadeiro)
• (D) $f(x)=1,\forall x\in D$
• (E) $f(x)$ não é constante em D

Resolução

$f(x)={\operatorname {sen}(3\cdot e^{x}) \over \operatorname {sen}(e^{x})}-{\cos(3\cdot e^{x}) \over \cos(e^{x})}={\operatorname {sen}(3\cdot e^{x})\cdot \cos(e^{x})-\cos(3\cdot e^{x})\cdot \operatorname {sen}(e^{x}) \over \operatorname {sen}(e^{x})\cdot \cos(e^{x})}=2\cdot {\operatorname {sen}(3\cdot e^{x})\cdot \cos(e^{x})-\cos(3\cdot e^{x})\cdot \operatorname {sen}(e^{x}) \over \operatorname {sen}(e^{x})\cdot \cos(e^{x})+\operatorname {sen}(e^{x})\cdot \cos(e^{x})}\Rightarrow$ $\Rightarrow f(x)={2\cdot \operatorname {sen}(3\cdot e^{x}-e^{x}) \over \operatorname {sen}(e^{x}+e^{x})}={2\cdot \operatorname {sen}(2\cdot e^{x}) \over \operatorname {sen}(2e^{x})}=2$

28

O domínio da função $y=\arcsin {\sqrt {2x-3}}$ é:

• (A) $\{x\in \mathbb {R} ;x\geq {3 \over 2}\}$ (verdadeiro)
• (B) $\{x\in \mathbb {R} ;{3 \over 2}\leq x\leq 2\}$
• (C) $\{x\in \mathbb {R} ;0\leq x\leq 2\}$
• (D) $\{x\in \mathbb {R} ;0\leq x\leq {3 \over 2}\}$
• (E) $\{x\in \mathbb {R} ;1\leq x\leq {3 \over 2}\}$

Resolução

$y=\arcsin {\sqrt {2x-3}}\Rightarrow D_{y}=\{x\in \mathbb {R} ;2x-3\geq 0\}=\{x\in \mathbb {R} ;x\geq {3 \over 2}\}$

29

Para que valores de t o sistema abaixo admite solução?

$r:x+y=\pi ;s:\operatorname {sen} x+\operatorname {sen} y=\log _{10}t^{2}$

• (A) $0<t<10$
• (B) $0<t<10^{2}$
• (C) $0,1\leq t\leq 10$ (verdadeiro)
• (D) $0,1<t<10$
• (E) $0,1\leq t<10$

Resolução

Sejam $f(x)=\operatorname {sen}(x)+\operatorname {sen}(\pi -x)=2\operatorname {sen}(x){\mbox{ e }}g(t)=2\log _{10}t$ duas funções. Para quais valores de t, é possível ter $f(x)=g(t)$.

• Como $-1\leq sen(x)\leq 1,\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow -2\leq 2sen(x)\leq 2,\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow -2\leq 2\log _{10}t\leq 2,\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow -1\leq \log _{10}t\leq 1,\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow$ $\Rightarrow 10^{-1}\leq t\leq 10^{1},\forall x\in \mathbb {R} \Rightarrow$.

30

Sobre a função $y=\|sen(x)\|$ podemos afirmar:

• (A) é descontínua nos pontos da forma $x={k\pi \over 2}$(k inteiro).
• (B) é derivável nos pontos da forma $x=k\pi$ (k inteiro).
• (C) é derivável em qualquer ponto.
• (D) é descontínua nos pontos da forma $x=k\pi$(k inteiro).
• (E) não é derivável nos pontos da forma $x=k\pi$ (k inteiro). (verdadeiro)

Resolução

Temos que $y=sen(x),x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi ),\forall k\in \mathbb {Z} {\mbox{ ou }}y=-sen(x),x\in ((2k+1)\pi ,2k\pi ),\forall k\in \mathbb {Z} \Rightarrow$. $\Rightarrow {dy \over dx}=cos(x),x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi ),\forall k\in \mathbb {Z} {\mbox{ ou }}{dy \over dx}=-cos(x),x\in ((2k+1)\pi ,2k\pi ),\forall k\in \mathbb {Z}$.

• Calculemos as derivadas esquerda e direita nos valores de $x=k\pi$
• Tome k par,
  • ${dy \over dx}(k\pi +)=\lim _{h\mapsto 0+}{y(k\pi +h)-y(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0+}{sen(k\pi +h)-sen(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0+}{cos(k\pi )sen(h) \over h}=1;$
  • ${dy \over dx}(k\pi -)=\lim _{h\mapsto 0-}{y(k\pi +h)-y(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0-}{-sen(k\pi +h)-sen(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0-}{-cos(k\pi )sen(h) \over h}=-1;$
• Tome k impar,
  • ${dy \over dx}(k\pi +)=\lim _{h\mapsto 0+}{y(k\pi +h)-y(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0+}{-sen(k\pi +h)-sen(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0+}{-cos(k\pi )sen(h) \over h}=-1;$
  • ${dy \over dx}(k\pi -)=\lim _{h\mapsto 0-}{y(k\pi +h)-y(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0-}{sen(k\pi +h)-sen(k\pi ) \over h}=\lim _{h\mapsto 0-}{cos(k\pi )sen(h) \over h}=1;$

31

O valor, em unidades de área, da área delimitada pelas curvas = sen e = cos no intervalo [0,π] é:

(A) (B) (C) (D) (E)

32

Considerando ( ) = cos 2 , = sen e = , analise as proposições abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta.

I. ’(π/4) = -1 II. ’(π/4) = III. ’(1) = -2.

(A) Somente a I e a II estão corretas. (B) Somente a II e a III estão corretas. (C) Somente a I e a III estão corretas. (D) Somente a I está correta. (E) todas estão incorretas.

33. Sobre a função , se 1 ≤ ≤ 2 e ( ) = , se > 2, podemos afirmar:

(A) (B) ( ) é derivável em = 2 (C) ( ) é descontínua em = 2 (D) (2) = -2 (E) ( ) é contínua em = 2

34. A solução da equação │z│ + z = 2 + i é um número complexo de módulo:

(A) (B) (C) 1 (D) (E)

35. Sobre as raízes da equação 4 – 20 2 + 36 = 0 podemos afirmar:

(A) formam uma sucessão de 4 números em progressão geométrica. (B) formam uma sucessão de 4 números em progressão aritmética. (C) duas são complexas conjugadas e duas são reais. (D) nenhuma delas é real. (E) são todas racionais.

36. Se formam uma progressão geométrica, nessa ordem, de termos reais e positivos, então ln 4, ln 4, ln 4, ln 4:

(A) formam uma progressão geométrica. (B) formam uma progressão aritmética. (C) não é possível saber se formam uma P.A. ou uma P.G. (D) formam uma sucessão que tem termos em P.A. e P.G. (E) não formam uma sucessão.

37. No sistema tem-se:

(A) e (B) e (C) e (D) e (E) e

38. O resto da divisão por ( – ), do polinômio

P( ) = , é:

(A) ( – ) ( – ) ( – ) se ≠ 0 (B) em geral, um polinômio não nulo de grau 3 (C) o polinômio nulo se e somente se = = = (D) sempre o polinômio nulo (E) um polinômio de grau 2 se e somente se = = =

39. No cálculo da integral , obtemos:

(A) (B) (C) (D) (E)

40. O módulo de , para e reais, é:

(A) 2 + 2 (B) 2 (C) 1 (D) 2 – 2 (E) 0

41. Se o número complexo é uma das raízes de , o valor de é:

(A) 4 (B) 16 (C) 128 (D) 16 (E) 128

42. A matriz:

é inversível se, e somente se:

(A) , n inteiro. (B) , n inteiro. (C) , n inteiro. (D) , n inteiro. (E) é um número real qualquer.

43. Em um triângulo, os três ângulos estão em progressão aritmética e o maior ângulo é o dobro do menor. Então o menor ângulo mede:

(A) 10o (B) 20o (C) 30o (D) 15o (E) 40 o

44. Sendo f: IR → IR a função definida por , então é igual a:

(A) 725 (B) 753 (C) 653 (D) 1375 (E) 400

45. Dados os planos e e a reta , assinale a afirmativa falsa.

(A) (B) é paralela a (C) (D) é ortogonal a (E) o vetor na direção de é ortogonal ao vetor normal a

46. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola, e considere os eventos:

A = { a bola retirada possui um número múltiplo de 2 } B = { a bola retirada possui um número múltiplo de 5 } Então, a probabilidade do evento A U B é:

(A) (B) (C) (D) (E)

47. Seja de em uma função derivável cujo gráfico de sua derivada é dado abaixo. Assinale a afirmativa falsa.

(A) é crescente no intervalo . (B) é decrescente no intervalo , . (C) tem concavidade voltada para cima no intervalo , . (D) e são pontos críticos de . (E) é ponto de máximo de .

48. Dada a função , assinale a afirmativa falsa.

(A) é ponto de mínimo de no intervalo , (B) é ponto de mínimo de no intervalo , (C) é ponto máximo de no intervalo , (D) é ponto de máximo de no intervalo , (E) é ponto de máximo de no intervalo ,

49. Sejam e as raízes da equação quadrática com e . Então a afirmativa falsa é:

(A) e são números complexos (B) é um número real (C) é um número real positivo (D) é um número imaginário (E) é um número real positivo

50. Assinale a afirmação falsa.

(A) (B) (C) (D) (E)

2ª QUESTÃO

DÊ O QUE SE PEDE

RESPONDA NO CADERNO DE RESPOSTAS ANEXO:

01. Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI):

02. Esboce o gráfico da função sabendo-se que

a) e  ; b)  ; c) para ou  ; d) para  ; e)  ; f) para ou  ; g) para  ; h) quando  ; i) quando .