Utilizador:Thiago Marcel/Ensino Médio/1 ano/Conjuntos

Conjunto

Conjunto é uma coleção de elementos.

• Ex. Considere $A=\{1,4,8\}$

Pertinência

Dado um elemento x e um conjunto A, ocorre que: Ou $x\in A$, ou $x\not \in A$.

• Ex. Considere $x=2\;e\;A=\{1,4,8\}$, logo $2\not \in A$
• Ex. Considere $x=4\;e\;A=\{1,4,8\}$, logo $4\in A$

Continência

Dado A e B, dois conjuntos podemos dizer, de todas uma:

• todos os elementos de A estão em B, isto é, $A\subset B$, onde lê-se, A está contido em B. Ou que A é subconjunto de B.
  • Ex. $A=\{1,2,3\}\;e\;B=\{1,2,3,4,5\}$. Como $1,2,3\in B$, logo $A\subset B$
• todos os elementos de B estão em A, isto é, $B\subset A$, onde lê-se, B está contido em A. Ou que B é subconjunto de A.
• A e B compartilham do mesmos elementos, isto é, $A\subset B\;e\;B\subset A\Rightarrow A=B$, onde lê-se, A é igual a B.
• alguns elementos são comuns aos dois conjuntos, isto é, $A\cap B\not =\varnothing$.
  • Ex. $A=\{1,2,3\}\;e\;B=\{2,3,4,5\}$. Como $2,3\in A,B\Rightarrow A\cap B=\{2,3\}$
• nenhum elemento é comum aos dois conjuntos, isto é, $A\cap B=\varnothing$.
  • Ex. $A=\{1,2,3\}\;e\;B=\{4,5,6\}$. Como $1,2,3\not \in B\;e\;4,5,6\not \in A\Rightarrow A\cap B=\varnothing$

Portanto, sejam A e B dois conjuntos, acontecerá que $A\subset B\;ou\;B\subset A\;ou\;A=B\;ou\;A\cap B\not =\varnothing \;ou\;A\cap B=\varnothing$

Não continência

Considere A,B tal que $A\not \subset B$ podemos afirmar que:

• A não é subconjunto de B. Logo existe pelo menos um elemento de A que não está em B, ou seja, $\exists x\in A\Rightarrow x\not \in B$.
  • Ex $A=\{1,2,3\}\;e\;B=\{3,4,5\}$. Como $1\in A\;e\;1\not \in B\Rightarrow A\not \subset B$ mesmo que $3\in A\cap B$.

Propriedades da relação de inclusão

• Reflexidade: $A\subset A$. Dado $x\in A\Rightarrow x\in A$.
• Antisimétrica: Se $A\subset B\;e\;B\subset A$, então $A=B$. Como $A\subset B,\;tomex\in A\Rightarrow x\in B$ .