Utilizador:Panic2k7/Projecto CII CIII/CII

CII

Integrais Defendidos

nota: ver Integrais
nota: quando temos uma área definida, chamamos o integral de definido.

Integrais Defendidos (directos)

nota: directos porque se aplica directamente as formulas da tabela de primitivas.

Passos:

1. Usar propriedades dos integrais ou da função dada para simplificar o exercício.
2. Resolver o integral por aplicação directa de uma das formulas.

P1

$\int \limits _{2}^{3}xdx$

nota: usando $\int f(x^{n}){\mbox{d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$  ; onde: $n\neq -1$.

$\int \limits _{2}^{3}xdx=\left[{\frac {x^{1+1}}{1+1}}\right]_{2}^{3}=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{2}^{3}={{3^{2}} \over 2}-{{2^{2}} \over 2}={5 \over 2}$

solução:
${\frac {5}{2}}$

Integrais definidos por partes

nota: ver Integração por partes.
nota:usa-se $\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

P1

$\int \limits _{e}^{e^{2}}xln(x)dx$

integração por partes, em que $U=ln(x),dU=\quad$${1} \over {x}$$dx,V=\quad$${x^{2}} \over {2}$ e $dV=xdx\quad$

$\int xln(x)dx=ln(x){\frac {x^{2}}{2}}-\int {\frac {x^{2}}{2}}*{\frac {1}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {x}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}*{\frac {x^{2}}{2}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

logo

$\left[{\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}\right]_{e}^{e^{2}}={\frac {e^{4}ln(e^{2})}{2}}-{\frac {e^{4}}{4}}-{\frac {e^{2}ln(e)}{2}}+{\frac {e^{2}}{4}}=e^{4}ln(e)-{\frac {e^{2}ln(e)}{2}}-{\frac {e^{4}}{4}}+{\frac {e^{2}}{4}}=e^{4}ln(e)-{\frac {2e^{2}ln(e)-e^{4}+e^{2}}{4}}$

solução:
$e^{4}ln(e)-{\frac {2e^{2}ln(e)-e^{4}+e^{2}}{4}}$

F1.2a/21/05/2007

$\int \limits _{1}^{2e}xln(x^{1/5})dx$

${\frac {1}{5}}\int \limits _{1}^{2e}xln(x)dx$

integração por partes, em que $U=ln(x),dU=\quad$${1} \over {x}$$dx,V=\quad$${x^{2}} \over {2}$ e $dV=xdx\quad$

$\int xln(x)dx=ln(x){\frac {x^{2}}{2}}-\int {\frac {x^{2}}{2}}*{\frac {1}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {x}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}*{\frac {x^{2}}{2}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

logo

$\left[{\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}\right]_{1}^{2e}={\frac {(2e)^{2}ln(2e)}{2}}-{\frac {(2e)^{2}}{4}}-{\frac {1^{2}ln(1)}{2}}+{\frac {1^{2}}{4}}={\frac {4e^{2}ln(2e)}{2}}-{\frac {4e^{2}}{4}}-{\frac {ln(1)}{2}}+{\frac {1}{4}}=2e^{2}ln(2e)-e^{2}-{\frac {ln(1)}{2}}+{\frac {1}{4}}$

então voltamos a atrás e simpliciamos visto ln(1)=0

${\frac {1}{5}}\left(2e^{2}ln(2e)-e^{2}+{\frac {1}{4}}\right)$

solução:
${\frac {1}{5}}\left(2e^{2}ln(2e)-e^{2}+{\frac {1}{4}}\right)$

F1.2b/21/05/2007

$\int \limits _{-1/2}^{1/2}x*arctg(2x)dx$

integração por partes, em que $U=arctg(2x),dU={\frac {2}{1+(2x)^{2}}}$$dx,V=\quad$${x^{2}} \over {2}$ e $dV=xdx\quad$

$\int x*arctg(2x)dx={\frac {{x}^{2}\,arctg\left(2\,x\right)}{2}}-\int {\frac {x^{2}}{2}}*{\frac {2}{1+(2x)^{2}}}={\frac {{x}^{2}\,arctg\left(2\,x\right)}{2}}-\int {\frac {x^{2}}{1+(2x)^{2}}}+C$

e usando FOR42/7

$\int {\frac {x^{2}}{1+4x^{2}}}={\frac {x}{4}}-{\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{4x^{2}+1}}={\frac {x}{4}}-{\frac {1}{4}}*{\frac {1}{2}}arctg(2x)={\frac {x}{4}}-{\frac {arctg\left(2\,x\right)}{8}}+C$

então

$\int x*arctg(2x)dx={\frac {{x}^{2}\,arctg\left(2\,x\right)}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {arctg\left(2\,x\right)}{8}}=$${\frac {{x}^{2}\,arctg\left(2\,x\right)}{2}}+{\frac {arctg\left(2\,x\right)}{8}}-{\frac {x}{4}}+C$

logo

$\left[{\frac {{x}^{2}\,arctg\left(2\,x\right)}{2}}+{\frac {arctg\left(2\,x\right)}{8}}-{\frac {x}{4}}\right]_{-1/2}^{1/2}={\frac {{\frac {1}{4}}arctg(1)}{2}}+{\frac {arctg(1)}{8}}-{\frac {\frac {1}{2}}{4}}-{\frac {{\frac {1}{4}}arctg(-1)}{2}}-{\frac {arctg(-1)}{8}}+{\frac {-{\frac {1}{2}}}{4}}=$

${\frac {{\frac {1}{4}}arctg(1)}{2}}+{\frac {arctg(1)}{8}}-{\frac {{\frac {1}{4}}arctg(-1)}{2}}-{\frac {arctg(-1)}{8}}-{\frac {2}{8}}=$ ${\frac {\pi -2}{8}}$

nota: $arctg(1)=\pi /4$ e $arctg(-1)=-\pi /4$

solução:
${\frac {\pi -2}{8}}$

Integrais definidos por substituição

nota: ver integração por substituição
nota: outros exemplos aqui

P1

$\int \limits _{1}^{8}{1 \over x{\sqrt {x+1}}}dx$

nota: por substituição

$t={\sqrt {x+1}};x=t^{2}-1;dt=2t$

$\int {1 \over x{\sqrt {x+1}}}dx=\int {1 \over (t^{2}-1)t}2tdt=\int {1 \over (t^{2}-1)}2dt=2\int {1 \over (t^{2}-1)}dt=2\int {1 \over (t+1)(t-1)}dt$

usando as propriedades dos logaritmos $ln(x)-ln(y)=ln(x/y);ln(x)+ln(y)-ln(z)=ln({\frac {xy}{z}})\quad$

$2({\frac {ln(t-1)}{2}}-{\frac {ln(t+1)}{2}})=ln(t-1)-ln(t+1)\quad$

volta-se atrás na substituição ajustando os indicies à substituição usada; t

$\left[ln(t-1)-ln(t+1)\right]_{\sqrt {2}}^{3}=ln(2)-ln(4)-ln({\sqrt {2}}-1)+ln({\sqrt {2}}+1)$

solução
$ln(2)-ln(4)-ln({\sqrt {2}}-1)+ln({\sqrt {2}}+1)$

F1.3a/21/05/2007

$\int \limits _{0}^{3}\left[3+(x+1)^{1/2}\right]/(x+4)dx$

$\int \left[3+(x+1)^{1/2}\right]/(x+4)dx$

solução
$2*(-(3*atan(sqrt(x+1)/sqrt(3)))/sqrt(3)+(3*log(x+4))/2+sqrt(x+1))\quad$, wxMaxima

E3a/2/07/2007

$\int \limits _{0}^{7}\left[3+(x+1)^{1/3}\right]/(x+4)dx$

$\int \left[3+(x+1)^{1/3}\right]/(x+4)dx$

solução
$3\,(-{\frac {atan\left({\frac {2\,{\left(x+1\right)}^{\frac {1}{3}}-{3}^{\frac {1}{3}}}{{3}^{\frac {5}{6}}}}\right)}{{3}^{\frac {1}{6}}}}+{\frac {\left(2\,{3}^{\frac {2}{3}}+1\right)\,log\left({\left(x+1\right)}^{\frac {2}{3}}-{3}^{\frac {1}{3}}\,{\left(x+1\right)}^{\frac {1}{3}}+{3}^{\frac {2}{3}}\right)}{2\,{3}^{\frac {2}{3}}}}+{\frac {\left({3}^{\frac {2}{3}}-1\right)\,log\left({\left(x+1\right)}^{\frac {1}{3}}+{3}^{\frac {1}{3}}\right)}{{3}^{\frac {2}{3}}}}$, wxMaxima

Integrais Indefinidos

P1

$\int {1 \over {\sqrt {x+1}}}dx$

$\int {1 \over {\sqrt {x+1}}}dx=$ $\int (x+1)^{-1/2}dx=$ ${(x+1)^{-1/2+2/2}} \over {-1/2+2/2}$$=$ $(x+1)^{1/2} \over 1/2$$=$ $2(x+1)^{1/2}=2{\sqrt {x+1}}+C$

solução:
$2\,{\sqrt {x+1}}+C$

P2

$\int xln(x^{2})dx$

$\int xln(x^{2})dx=2\int xln(x)dx$

integração por partes, em que $U=ln(x),dU=\quad$${1} \over {x}$$dx,V=\quad$${x^{2}} \over {2}$ e $dV=xdx\quad$

$\int xln(x)dx=ln(x){\frac {x^{3}}{2}}-\int {\frac {x^{2}}{2}}*{\frac {1}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {x^{2}}{x}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}\int {x}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {1}{2}}*{\frac {x^{2}}{2}}={\frac {x^{2}ln(x)}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

solução:
$2({x^{2}*ln(x) \over 2}-{x^{2} \over 4})+C$

* P3

$\int {{x^{2}+1} \over {(x^{2}-1)x^{2}}}$

$\int {{x^{2}+1} \over {(x^{2}-1)x^{2}}}=$

...

solução:
$-ln(x+1)+ln(x-1)+\quad$$1 \over x$

F1.1a/21/05/2007

$\int (x^{2}-1)/(x^{3}-5x^{2}+6x)dx$

nota: usa-se o método de integração de funções racionais.

factorizando obtêm-se:

$x^{3}-5x^{2}+6x=x*(x-3)*(x-2)\quad$

logo

${\frac {x^{2}-1}{x^{3}-5x^{2}+6x}}={\frac {x^{2}-1}{x(x-3)(x-2)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-3}}+{\frac {C}{x-2}}\quad$

e igualando ao numerador

$A(x-3)(x-2)+B*x(x-2)+C*x(x-3)=x^{2}-1\quad$

tem-se para
$x=0;A(x-3)(x-2)=x^{2}-1\Leftrightarrow A={\frac {x^{2}-1}{(x-3)(x-2)}}\Leftrightarrow A=-{\frac {1}{6}}$
para
$x=3;B*x(x-2)=x^{2}-1\Leftrightarrow B={\frac {x^{2}-1}{x(x-2)}}\Leftrightarrow B={\frac {8}{3}}$
para
$x=2;C*x(x-3)=x^{2}-1\Leftrightarrow C={\frac {x^{2}-1}{x(x-3)}}\Leftrightarrow C=-{\frac {3}{2}}$
então
$\int (x^{2}-1)/(x^{3}-5x^{2}+6x)dx=-{\frac {1}{6}}\int {\frac {1}{x}}dx+{\frac {8}{3}}\int {\frac {1}{x-3}}dx-{\frac {3}{2}}\int {\frac {1}{x-2}}dx=-{\frac {ln\left(x\right)}{6}}+{\frac {8\,ln\left(x-3\right)}{3}}-{\frac {3\,ln\left(x-2\right)}{2}}+C$

solução:
$-{\frac {ln\left(x\right)}{6}}+{\frac {8\,ln\left(x-3\right)}{3}}-{\frac {3\,ln\left(x-2\right)}{2}}+C$

* F1.1b/21/05/2007

$\int 2x/(1-x^{2})^{4/5}dx$

$\int 2x/(1-x^{2})^{4/5}dx=2\int x/(1-x^{2})^{4/5}dx$

solução:
$-5\,{\left(1-{x}^{2}\right)}^{\frac {1}{5}}$

* F1.1c/21/05/2007

$\int (3x^{2}+2x+9)/\left[(x-1)^{2}(x+1)\right]dx$

nota: usa-se o método de integração de funções racionais. ?

$(x-1)^{2}(x+1)=x^{3}-x^{2}-x+1\quad$

solução:
${5*ln(x+1) \over 2}+{ln(x-1) \over 2}-{7 \over x-1}$

Integrais Impróprios

nota: ver Integrais Impróprios
nota: outros exemplos aqui

* F1.4a/21/05/2007

$\int \limits _{0}^{e}ln(x)/(x^{3}+1)dx$

F1.4b/21/05/2007

$\int \limits _{1}^{+\infty }2/(x+1)dx$

$2\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=2\left[\lim _{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 1\right]=2\left[\pi /2-\pi /4\right]=\pi /2$

O integral improprio converge apenas se o limite converge. Neste caso o integral não converge.

* E5a/2/07/2007

$\int \limits _{1}^{1}x^{2}ln(x)dx$
nota: por partes

${\frac {{x}^{3}\,log\left(x\right)}{3}}-{\frac {{x}^{3}}{9}}$

* E5b/2/07/2007

$\int \limits _{2}^{+\infty }e^{-x}(x^{2}+1)dx$
nota: por partes

$-{\frac {\left({log\left(e\right)}^{2}\,{x}^{2}+2\,log\left(e\right)\,x+2\right)\,{e}^{-log\left(e\right)\,x}}{{log\left(e\right)}^{3}}}-{\frac {1}{{e}^{x}\,log\left(e\right)}}$

funções (x,y): Domínio, Pontos Fronteira, Pontos Interiores e Exteriores

domínio é o conjunto que contém todos os elementos x e y para os quais a função é definida.

Passos:

1. Determinar o domínio onde a função dada (Z) é valida.
2. Determinar se e onde os valores que a função toma (x,y) que podem invalidar essa validade.
3. Desenhar o gráfico da sub-função com especial interesse para os pontos onde (x,y) invalida Z.
   1. Tipos de funções relevantes devido ao seu uso $(ln(x),{\sqrt {x}},x^{2})$.
4. Domínio = Pontos interiores.
5. Pontos Exteriores (PE) = espaço onde (x,y) invalida Z. (basicamente tudo que não é domínio).
6. Pontos fronteira(PF) = pontos limítrofes / conjunto de pontos que delimitam os espaços (D e PE).

P1

$Z(x,y)=ln(16-x^{2}-y^{2})\quad$

$16-x^{2}-y^{2}>0\Leftrightarrow -x^{2}-y^{2}>-16\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<16\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<4^{2}$

nota: domínio do ln é maior que 0, ver logaritmo natural.
nota: gráfico é circunferência centrada na origem de raio 4.
nota: formula da circunferência.

$D:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}<16\right\}$

$PF:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=16\right\}$

$PE:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}>=16\right\}$

P2

$Z(x,y)=ln(2x^{2}-4x-1+y)\quad$

$2x^{2}-4x-1+y>0\Leftrightarrow y>-2x^{2}+4x+1$

nota: usando a formula quadrática $\textstyle {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}$

$y={\frac {-4\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4*(-2)*1}}}{2*(-2)}}={\frac {-4\pm {\sqrt {16+8}}}{-4}}={\frac {-4\pm {\sqrt {24}}}{-4}}={\frac {-4}{-4}}\pm {\frac {\sqrt {24}}{-4}}$

nota: ${\sqrt {24}}={\sqrt {8*3}}={\sqrt {2^{3}*3}}=2{\sqrt {2*3}}=2{\sqrt {6}}$

$y=1\pm 2{\frac {\sqrt {6}}{-4}}=1\pm {\frac {\sqrt {6}}{-2}}=1\mp {\frac {\sqrt {6}}{2}}$

logo $y=0$ quando $x=1\mp {\frac {\sqrt {6}}{2}}$

$D:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>-2x^{2}+4x+1\right\}$

$PF:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=-2x^{2}+4x+1\right\}$

$PE:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq -2x^{2}+4x+1\right\}$

P3

$Z(x,y)={\sqrt {xy}}$

nota: domínio de ${\sqrt {}}$ é maior ou igual a 0, ver raiz quadrada.

$xy\geq 0$

$D:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(x\geq 0\land y\geq 0)\land (x\leq 0\land y\leq 0)\right\}$

$PF:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=0\land y=0\right\}$

$PE:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(x>0\land y<0)\land (x<0\land y>0)\right\}$

P4

$Z(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}-9}}$

nota: ver exercício acima.

$x^{2}+y^{2}-9\geq 0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 9\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 3^{2}$

nota: circunferência centrada na origem (0,0) e raio 3 (ver formula da circunferência)

$D:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\geq 9\right\}$

$PF:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=9\right\}$

$PE:Z(x,y)=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}<9\right\}$

* E1b-1.1-1.2

$g(x,y)=[(4-x^{2}-y^{2})^{1/2}]/x^{2}-y^{2})\quad$

• Determinar domino, indicar o interior, exterior e fronteira

Curvas de Nível

E1a-1.1-1.2-1.3/2/07/2007

$f(x,y)=ln(2y-3x+x^{2}-4)\quad$

• Determinar domino, indicar o interior, exterior e fronteira
• Determinar equação geral das curvas de nível, represente no domínio as curvas dos pontos f(x;y)=0 e f(x;y)= -1.

Limites

Provar que não existe limite

E2a/2/07/2007

$lim(x-y)/(y^{1/2}-x^{1/2})\quad$
$(x\rightarrow 0^{+}:y\rightarrow 0^{+})$

• calcule o limite ou prove que não existe.

visto os polinómios terem graus diferentes pode-se afirmar que a função não tem limite.

E2b/2/07/2007

$\lim _{y\rightarrow 2}^{x\rightarrow 0}lim{\mbox{ }}sin(xy)/x\quad$

• calcule o limite ou prove que não existe.

nota: $\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {sin(z)}{z}}=1$

pela regra da compensação

$\lim _{y\rightarrow 2}^{x\rightarrow 0}{\frac {sin(xy)}{x}}y=2$

E1c/2/07/2007

$\lim _{y\rightarrow 0}^{x\rightarrow 0}({\frac {2x^{2}-3y^{2}+xy}{2x^{2}+y^{2}}})$

• calcule o limite ou prove que não existe.

pelo método da recta

$\lim _{y\rightarrow mx}^{x\rightarrow 0}({\frac {2x^{2}-3m^{2}x^{2}+x^{2}m}{2x^{2}+m^{2}x^{2}}})={\frac {x^{2}(2-3m^{2}+m)}{x^{2}(2+m^{2})}}={\frac {2-3m^{2}+m}{2+m^{2}}}$

para recta horizontal; m=0

${\frac {2-0+0}{1+0}}=2$

o limite é 2

para recta a 45º; m=1

${\frac {2-4}{1+1}}=-{\frac {2}{2}}=-1$

o limite é -1

logo não existe limite

Diferencial Total 1ª ordem

Calculo aproximado

* E4a/2/07/2007

$4,05^{3}/1,99^{4}\quad$

wxMaxima, ${\frac {125}{96059601}}$

$U(x,y)=x^{3}/y^{4}\quad$ $P_{0}(4;2);U(P_{0})=64/16=4\quad$
$P_{1}(4,05;1,99);U(P_{1})={\frac {125}{96059601}}$, wxMaxima

$\Delta _{x}=x_{P_{1}}-x_{P_{0}}=0.05={\frac {5}{100}}$

$\Delta _{y}=y_{P_{1}}-y_{P_{0}}=-0,01=-{\frac {1}{100}}$

${\frac {dU}{dx}}=3{\frac {x^{2}}{y^{4}}}$

${\frac {dU}{dy}}=-{\frac {4x^{3}}{y5}}$

$\Delta _{U}\thickapprox {\frac {dU}{dx}}\Delta _{x}+{\frac {dU}{dy}}\Delta _{y}=3{\frac {x^{2}}{y^{4}}}*{\frac {5}{100}}+{\frac {4x^{3}}{y5}}({\frac {1}{100}})$

$\Delta _{U_{P_{0}}}\thickapprox -{\frac {3*4^{2}}{2^{4}}}*{\frac {5}{100}}+{\frac {4*4^{3}}{2^{5}}}({\frac {1}{100}})=23/100$

$4,05^{3}/1,99^{4}\quad \thickapprox U(P_{0})+\Delta _{U_{P_{0}}}$

$4,05^{3}/1,99^{4}\quad \thickapprox 4+23/100=423/100$

E4b/2/07/2007

$e^{-0.06}*2,95^{2}\quad$

wxMaxima, $9025\,{e}^{-0.06}$

$U(x,y)=e^{-x}*y^{2}\quad$

$P_{0}(0;3);U(P_{0})=9\quad$
$P_{1}(0,06;2,95);U(P_{1})=9025\,{e}^{-0.06}$, wxMaxima,

$\Delta _{x}=x_{P_{1}}-x_{P_{0}}=0.06-0={\frac {6}{100}}$

$\Delta _{y}=y_{P_{1}}-y_{P_{0}}=2,95-3=-0.05=-{\frac {5}{100}}$

${\frac {dU}{dx}}=e^{-x}(-1)y^{2}=-{\frac {y^{2}}{e^{x}}}$

${\frac {dU}{dy}}=2ye^{-x}={\frac {2y}{e^{x}}}$

$\Delta _{U}\thickapprox {\frac {dU}{dx}}\Delta _{x}+{\frac {dU}{dy}}\Delta _{y}=-{\frac {y^{2}}{e^{x}}}*{\frac {6}{100}}+{\frac {2y}{e^{x}}}(-{\frac {5}{100}})$

$\Delta _{U_{P_{0}}}\thickapprox -{\frac {3^{2}}{e^{0}}}*{\frac {6}{100}}+{\frac {2*3}{e^{0}}}(-{\frac {5}{100}})=-21/25$

$e^{-0.06}*2,95^{2}\quad \thickapprox U(P_{0})+\Delta _{U_{P_{0}}}$

$e^{-0.06}*2,95^{2}\quad \thickapprox 9-21/25=204/25$