Utilizador:Gonçalo Ferreira/Rascunhos

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Transformações e ajustamentos

Por vezes, ajustar os dados históricos leva a modelos de previsão mais simples e facilmente interpretáveis. Existem três tipos de ajuste:

• Transformações matemáticas (tais como logaritmos e raízes quadrados);
• Ajustes para remover a variação dos dados relativa a efeitos do calendário;
• Ajustes relacionados com mudanças e aumento da população.

Transformações matemáticas

A transformação matemática é o método conveniente para ter em consideração o aumento da variação dos dados. Uma das transformações é a função raiz quadrada, que ajuda a reduzir a variação do tamanho dos ciclos anuais, facilitando assim, a previsão dos dados. Existem outras transformações possíveis, no entanto, a raiz quadrada e o logaritmo são as mais úteis. Os logaritmos são particularmente úteis porque são mais fáceis de interpretar (alterações no valor do logaritmo levam a alterações percentuais na escala original). Uma lista de transformações é apresentada na tabela seguinte:

Tabela 1. Transformações matemáticas para a estabilização da variação.

Raiz quadrada	$W_{t}={\sqrt {Y_{t}}}\,\!$
Raiz cúbica	$W_{t}={\sqrt[{3}]{Y_{t}}}\,\!$
Logaritmo	$W_{t}=\log(Y_{t})\,\!$
Simétrico do Inverso	$W_{t}=-{\frac {1}{Y_{t}}}\,\!$

Cada uma destas transformações é um membro da família das transformações de potência onde:

$W_{t}=-Y_{t}^{p},\qquad p<0\,\!$

$W_{t}=log(Y_{t}),\qquad p=0\,\!$

$W_{t}=Y_{t}^{p},\qquad p>0\,\!$

Para $p=1\,\!$ a transformação é simplesmente $W_{t}=Y_{t}\,\!$, para $p={\frac {1}{2}}\,\!$ é a raiz quadrada e para $p=-1\,\!$ é o simétrico do inverso. A transformação de potência para $p=0\,\!$ está definida como o logaritmo porque $Y_{t}^{p}$ para valores de $p\,\!$ próximos de $0\,\!$ comporta-se como um logaritmo. Para $p<0\,\!$, o sinal negativo na transformação de potência é usado para que todas as transformações resultem em funções crescentes (a variável transformada aumenta com o aumento de $Y_{t}\,\!$). O parâmetro $p\,\!$ pode ser qualquer número se os dados forem positivos, superior a zero se estes tiverem zeros e se forem negativos não é possível utilizar transformações de potência a não ser que estas sejam ajustadas primeiro através da adição de uma constante a todos os valores.

As previsões são calculadas nos dados transformados em vez de nos originais. No entanto, como o interesse está na previsão dos dados originais, é necessário reverter a transformação. Geralmente as transformações revertidas da potência são dadas por:

$Y_{t}=(-W_{t})^{\frac {1}{p}},\qquad p<0\,\!$

$Y_{t}=e^{(W_{t})},\qquad p=0\,\!$

$Y_{t}=(W_{t})^{\frac {1}{p}},\qquad p>0\,\!$

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Para além da representação gráfica, é também útil fornecer resumos numéricos. A um resumo numérico de um determinado conjunto de dados dá-se o nome de estatística (Makridakis, 1998, p. 28-29).

Para um único conjunto de dados (dados univariados) ou uma única série temporal, as estatísticas descritivas mais comuns são a média, o desvio padrão e a variância.

Para um par de variáveis aleatórias (dados bivariados) tem interesse descrever a relação entre os dois conjuntos de dados. As estatísticas mais usadas para este propósito são a covariância e a correlação.

Finalmente, para uma única série temporal, é muito útil comparar a observação num período de tempo com a observação noutro período de tempo. As duas estatísticas mais comuns neste caso são a autocovariância e a autocorrelação.

Estatísticas univariadas

A média, também conhecida como média aritmética, mede o valor em relação a qual 50 por cento dos desvios estão acima e 50 por cento dos desvios estão abaixo. Isto é, a soma dos desvios em torno da média é zero. Por exemplo (DeLurgio, 1998, p. 41):

Tabela 1. Vendas de um determinado produto.

$t\,\!$	01	02	03	04	05	06	07	08	09
$X_{t}\,\!$	08	08	11	07	08	12	10	13	13

onde $X_{t}\,\!$ na Tabela 1, é o valor de vendas de um determinado produto nos últimos nove meses. A média das vendas é:

${\overline {X}}={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}X_{t}}{n}}={\frac {8+8+11+7+8+12+10+13+13}{9}}={\frac {90}{9}}=10$

onde $\textstyle \sum _{t=1}^{9}X_{t}$ é o somatório de $t$ = 1 até $t$ = 9.

A mediana é uma estatística importante, em relação à qual 50 por cento dos valores são maiores e 50 por cento são menores. Se o número de observações é ímpar e estiverem ordenadas, como acontece na Tabela 2, a mediana é a observação a meio.

Tabela 2. Valores de vendas ordenados por ordem crescente.

$X_{t}\,\!$	07	08	08	08	10	11	12	13	13

Para as nove observações da Tabela 2, quatro estão acima de 10 e quatro estão abaixo de 10. A mediana é portanto 10.

Nos casos em que existe um número par de observações, a mediana é igual à média entre os valores das duas observações centrais.

A média e a mediana têm o propósito de fornecer uma medida numérica do centro do conjunto de dados (Makridakis, 1998, p. 29).

Para além de medir o centro do conjunto de dados, é também importante medir a dispersão dos dados, de modo a saber se estão fortemente agrupados ou espalhados por uma vasta gama de valores (Makridakis, 1998, p. 30).

A moda é o número ou conjunto de números, que ocorre mais vezes. Nos dados da Tabela 2, a moda é 8 porque é o número que aparece com maior frequência (DeLurgio, 1998, p. 41).

Desvio Médio

Um desvio ($x_{t}\,\!$) é definido pela subtracção da média a um valor observado ($X_{t}\,\!$) e é dado por:

$x_{t}=X_{t}-{\overline {X}}$

Tabela 3. Cálculo dos desvios.

$t\,\!$	01	02	03	04	05	06	07	08	09
$X_{t}\,\!$	08	08	11	07	08	12	10	13	13
$x_{t}\,\!$	0-2	0-2	01	0-3	0-2	02	00	03	03

$\textstyle \sum _{t=1}^{11}x_{t}=(-2)+(-2)+1+(-3)+(-2)+2+0+3+3=0$

Desvio médio absoluto

Como a soma dos desvios é sempre igual a zero, é útil desenvolver uma estatística descritiva para estes desvios, que, ou são elevados ao quadrado, ou, ocasionalmente, toma-se o seu valor absoluto.

O desvio médio absoluto é denominado de DMA e é dado por:

$DMA={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}|X_{t}-{\overline {X}}|}{n}}$

Neste caso:

$DMA={\frac {|8-10|+|8-10|+|11-10|+|7-10|+|8-10|+|12-10|+|10-10|+|13-10|+|13-10|}{9}}$

$DMA={\frac {2+2+1+3+2+2+0+3+3}{9}}={\frac {20}{9}}=2,22$

Desvio médio quadrado

Por seu lado, o desvio médio quadrado, é designado por DMQ e é dado por:

$DMQ={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n}}$

Neste caso:

$DMQ={\frac {(8-10)^{2}+(8-10)^{2}+(11-10)^{2}+(7-10)^{2}+(8-10)^{2}+(12-10)^{2}+(10-10)^{2}+(13-10)^{2}+(13-10)^{2}}{9}}$

$DMQ={\frac {4+4+1+9+4+4+0+9+9}{9}}={\frac {44}{9}}=4,89$

Variância

Intimamente relacionado com o desvio médio quadrado (DMQ), está a variância. Esta é definida da seguinte maneira:

$S^{2}={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n-1}}$

Neste caso:

$S^{2}={\frac {(8-10)^{2}+(8-10)^{2}+(11-10)^{2}+(7-10)^{2}+(8-10)^{2}+(12-10)^{2}+(10-10)^{2}+(13-10)^{2}+(13-10)^{2}}{8}}$

$S^{2}={\frac {4+4+1+9+4+4+0+9+9}{8}}={\frac {44}{8}}=5,5$

onde $n-1$ representa os «graus de liberdade», que podem ser definidos como o número de observações a subtrair pelo número de parâmetros estimados (Makridakis, 1998, p. 31-32).

A variância é menos intuitiva que o DMQ mas possui propriedades matemáticas desejáveis, porque, ao contrário do DMQ não é uma estimativa tendenciosa.

Tanto a variância como o desvio médio absoluto fornecem medidas de dispersão. Medem aproximadamente o desvio médio das observações em relação à sua média. Se as observações estiverem muito dispersas, estarão longe da média (acima e abaixo). Neste caso tanto o desvio médio absoluto como a variância terão um valor elevado. Quando as observações estão próximas entre si, o desvio médio absoluto e a variância terão valores pequenos. Ambos têm a mesma unidade que as observações.

Desvio padrão

O desvio padrão é a raiz quadrada do desvio médio quadrado (DMQ) e é dado por (DeLurgio, 1998, p. 43):

$S={\sqrt {\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n-1}}}$

Neste caso:

$S={\sqrt {\frac {(8-10)^{2}+(8-10)^{2}+(11-10)^{2}+(7-10)^{2}+(8-10)^{2}+(12-10)^{2}+(10-10)^{2}+(13-10)^{2}+(13-10)^{2}}{8}}}$

$S={\sqrt {\frac {4+4+1+9+4+4+0+9+9}{8}}}={\sqrt {\frac {44}{8}}}={\sqrt {5,5}}=2,35$

Muitos conjuntos de dados verificam as seguintes regras empíricas (Makridakis, 1998, p. 32):

• Aproximadamente dois terços das observações distam até 1 desvio padrão da sua média;
• Aproximadamente 95% das observações distam até 2 desvios padrões da sua média.

Estatísticas bivariadas

Existem muitas situações em que é importante efectuar a medição da relação ou associação entre duas ou mais variáveis. É frequente questionar se uma variável pode ser usada para prever outra variável ou se uma variável causa a outra. É mais fácil obter previsões úteis que prova de causalidade. A capacidade de previsão é alcançada quando se consegue provar que os valores de uma variável movem-se em simultâneo com os valores de outra variável (e.g. procura versus publicidade), ou alternativamente, os valores de uma variável movem-se no sentido oposto dos valores de outra variável (e.g. procura versus competição). Na primeira situação, procura e a publicidade, as variáveis estão relacionadas positivamente; o segundo caso, procura e competição, ilustra uma relação negativa ou inversa entre as variáveis. Por fim, existe ainda a possibilidade das variáveis não estarem relacionadas entre si, esta situação é denominada de independência estatística (DeLurgio, 1998, p. 58-59).

Apesar dos termos positivo e negativo serem um atributo de uma relação, não denotam a força ou grau de associação entre as variáveis. Felizmente, existem diversas medidas de associação entre duas ou mais variáveis.

Uma medida útil na associação entre duas variáveis é a covariância. Esta medida por si só não é muito esclarecedora, mas revela-se importante no entendimento de uma segunda medida de associação, a correlação.

Covariância

O nível de associação entre duas variáveis pode ser medido através do seu grau de covariância (e.g. valores elevados de $Y\,\!$ com valores elevados de $X\,\!$ e valores baixos de $Y\,\!$ com valores baixos de $X\,\!$). A seguinte equação ilustra a fórmula da covariância:

$COV(X,Y)={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})(Y_{t}-{\overline {Y}})}{n-1}}$

onde ${\overline {X}}\,\!$ e ${\overline {Y}}\,\!$ são as médias de $X\,\!$ e $Y\,\!$ respectivamente e $n\,\!$ o número de observações de cada variável (Makridakis, 1998, p. 35).

Assim, a covariância é a média do produto dos desvios de dois números das suas respectivas médias. Infelizmente, como a covariância é um número absoluto que pode variar muito devido à escala dos números usados, não é fácil interpretar o seu significado.

Correlação

Uma medida de associação mais útil é o coeficiente de correlação $r_{XY}\,\!$. Este coeficiente mede a proporção da covariância entre $X\,\!$ e $Y\,\!$ para o produto dos seus desvios padrão (esta medida é mais apropriadamente chamada de coeficiente de correlação Pearson). Os valores deste coeficiente variam sempre entre -1 e 1, e fornecem informação acerca da força e direcção da associação entre $X\,\!$ e $Y\,\!$. Se a associação for positiva, $r\,\!$ é positivo, se for negativa, $r\,\!$ é negativo.

• Se $r=-1\,\!$, existe uma relação perfeitamente negativa.
• Se $r=0\,\!$, não existe relação.
• Se $r=1\,\!$, existe uma relação perfeitamente positiva.

O coeficiente de correlação Pearson é então dado por:

$r_{XY}={\frac {COV(X,Y)}{S_{X}S_{Y}}}$

onde $S_{X}={\sqrt {\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n-1}}}$ e $S_{Y}={\sqrt {\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(Y_{t}-{\overline {Y}})^{2}}{n-1}}}$

então:

$r_{XY}={\frac {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})(Y_{t}-{\overline {Y}})}{{\sqrt {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}}{\sqrt {\textstyle \sum _{t=1}^{n}(Y_{t}-{\overline {Y}})^{2}}}}}$

É importante saber que a covariância e o coeficiente de correlação Pearson, são medidas de associação linear entre duas variáveis, portanto não são apropriadas para medir a correlação quando existe uma relação curvilínea entre duas variáveis (Makridakis, 1998, p. 38).

Autocorrelação

A covariância e o coeficiente de correlação são estatísticas que medem a extensão da relação linear entre duas variáveis. Como tal, podem ser utilizadas para identificar relações explicativas. A autocovariância e a autocorrelação são medidas equivalentes que servem o mesmo propósito, mas para uma única série temporal (Makridakis, 1998, p. 38).

A autocorrelação mede a associação entre dois conjuntos de observações de uma série, separados por um certo atraso. Por exemplo, com dados diários, é expectável que a procura por um produto (e.g. cerveja) ou serviço (e.g. electricidade ou chamadas telefónicas) esteja relacionada com a procura no mesmo dia da semana anterior (este sábado contra o sábado da semana passada). De facto, inicialmente, os livros de estatística sugeriam que se representasse graficamente as mesmas observações em papel transparente e que se sobrepusesse os gráficos numa mesa de luz de modo a descriminar correlações desfasadas. Felizmente, hoje em dia, faz-se isto facilmente recorrendo às capacidades gráficas do software. Ainda assim, são necessárias medidas objectivas de correlação ao longo do tempo; a autocovariância e a autocorrelação fornecem essa medidas objectivas.

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Referências:

• DELURGIO, Stephen A. - Forecasting principles and applications. Singapura: McGraw-Hill, 1998. ISBN 978-0-07-115998-2
• DUNCAN, George T.; GORR, Wilpen L.; SZCZYPULA, Janusz - Forecasting analogous time series In ARMSTRONG, J. Scott, ed.- Principles of forecasting: a handbook for researchers and practitioners [Em linha]. Nova Iorque: Springer, 2001. [Consult. 22 Fev 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://books.google.pt/books?id=XdE4m_xMfL8C&lpg=PP1&hl=en&pg=PP1#v=onepage&q&f=false>. ISBN 978-0-7923-7930-0
• EHLERS, Ricardo S. - Análise de séries temporais [Em linha]. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2009. [Consult. 22 Fev. 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://www.icmc.usp.br/~ehlers/stemp/stemp.pdf>.
• MAKRIDAKIS, Spyros; WHEELWRIGHT, Steven C.; HYNDMAN, Rob J. - Forecasting: methods and applications. 3ª ed. Nova Iorque: John Wiley & Sons, 1998. ISBN 978-0-471-53233-0
• OSBOURNE, Jason W. - Notes on the use of data transformations [Em linha]. North Carolina State University, 2002. [Consult. 17 Mai. 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://pareonline.net/getvn.asp?v=8&n=6>.
• SAINT-GERMAIN, Michelle A. - PPA 696 research methods: pre-experimental designs [Em linha]. Long Beach: California State University Long Beach, 2002. [Consult. 22 Fev 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://www.csulb.edu/~msaintg/ppa696/696preex.htm#696preex>.
• Scatter plot [Em linha]. Orlando, FL: Netmba, [2010]. [Consult. 21 Mar. 2011]. Disponível WWW:<URL:http://www.netmba.com/statistics/plot/scatter/>.

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Códigos

link p wikipedia: qualidade

citação:(Galvão, 1981, p. 5)

referência:

REFERENCIA

pagina c codigos de imagens: http://pt.wikibooks.org/wiki/Log%C3%ADstica/Movimenta%C3%A7%C3%A3o_de_materiais/Equipamento/Equipamento_de_armazenagem/Armazenagem_de_unidades_de_carga/Estantes_para_armazenagem_de_unidades_de_carga/Estante_cantilever

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Figura 1. Estante cantilever.

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