Utilizador:Gonçalo Ferreira/Rascunhos

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Transformações e ajustamentos

Por vezes, ajustar os dados históricos leva a modelos de previsão mais simples e facilmente interpretáveis. Existem três tipos de ajuste:

Transformações matemáticas (tais como logaritmos e raízes quadrados);
Ajustes para remover a variação dos dados relativa a efeitos do calendário;
Ajustes relacionados com mudanças e aumento da população.

Transformações matemáticas

A transformação matemática é o método conveniente para ter em consideração o aumento da variação dos dados. Uma das transformações é a função raiz quadrada, que ajuda a reduzir a variação do tamanho dos ciclos anuais, facilitando assim, a previsão dos dados. Existem outras transformações possíveis, no entanto, a raiz quadrada e o logaritmo são as mais úteis. Os logaritmos são particularmente úteis porque são mais fáceis de interpretar (alterações no valor do logaritmo levam a alterações percentuais na escala original). Uma lista de transformações é apresentada na tabela seguinte:

Tabela 1. Transformações matemáticas para a estabilização da variação.

Raiz quadrada	$W_{t} = \sqrt{Y_{t}}$

Raiz cúbica	$W_{t} = \sqrt[3]{Y_{t}}$

Logaritmo	$W_{t} = \log (Y_{t})$

Simétrico do Inverso	$W_{t} = - \frac{1}{Y_{t}}$

Cada uma destas transformações é um membro da família das transformações de potência onde:

$W_{t} = - Y_{t}^{p}, p < 0$

$W_{t} = l o g (Y_{t}), p = 0$

$W_{t} = Y_{t}^{p}, p > 0$

Para $p = 1$ a transformação é simplesmente $W_{t} = Y_{t}$ , para $p = \frac{1}{2}$ é a raiz quadrada e para $p = - 1$ é o simétrico do inverso. A transformação de potência para $p = 0$ está definida como o logaritmo porque $Y_{t}^{p}$ para valores de $p$ próximos de $0$ comporta-se como um logaritmo. Para $p < 0$ , o sinal negativo na transformação de potência é usado para que todas as transformações resultem em funções crescentes (a variável transformada aumenta com o aumento de $Y_{t}$ ). O parâmetro $p$ pode ser qualquer número se os dados forem positivos, superior a zero se estes tiverem zeros e se forem negativos não é possível utilizar transformações de potência a não ser que estas sejam ajustadas primeiro através da adição de uma constante a todos os valores.

As previsões são calculadas nos dados transformados em vez de nos originais. No entanto, como o interesse está na previsão dos dados originais, é necessário reverter a transformação. Geralmente as transformações revertidas da potência são dadas por:

$Y_{t} = (- W_{t})^{\frac{1}{p}}, p < 0$

$Y_{t} = e^{(W_{t})}, p = 0$

$Y_{t} = (W_{t})^{\frac{1}{p}}, p > 0$

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Para além da representação gráfica, é também útil fornecer resumos numéricos. A um resumo numérico de um determinado conjunto de dados dá-se o nome de estatística (Makridakis, 1998, p. 28-29).

Para um único conjunto de dados (dados univariados) ou uma única série temporal, as estatísticas descritivas mais comuns são a média, o desvio padrão e a variância.

Para um par de variáveis aleatórias (dados bivariados) tem interesse descrever a relação entre os dois conjuntos de dados. As estatísticas mais usadas para este propósito são a covariância e a correlação.

Finalmente, para uma única série temporal, é muito útil comparar a observação num período de tempo com a observação noutro período de tempo. As duas estatísticas mais comuns neste caso são a autocovariância e a autocorrelação.

Estatísticas univariadas

A média, também conhecida como média aritmética, mede o valor em relação a qual 50 por cento dos desvios estão acima e 50 por cento dos desvios estão abaixo. Isto é, a soma dos desvios em torno da média é zero. Por exemplo (DeLurgio, 1998, p. 41):

Tabela 1. Vendas de um determinado produto.

$t$	01	02	03	04	05	06	07	08	09

$X_{t}$	08	08	11	07	08	12	10	13	13

onde $X_{t}$ na Tabela 1, é o valor de vendas de um determinado produto nos últimos nove meses. A média das vendas é:

$\overline{X} = \frac{\sum_{t = 1}^{n} X_{t}}{n} = \frac{8 + 8 + 11 + 7 + 8 + 12 + 10 + 13 + 13}{9} = \frac{90}{9} = 10$

onde $\sum_{t = 1}^{9} X_{t}$ é o somatório de $t$ = 1 até $t$ = 9.

A mediana é uma estatística importante, em relação à qual 50 por cento dos valores são maiores e 50 por cento são menores. Se o número de observações é ímpar e estiverem ordenadas, como acontece na Tabela 2, a mediana é a observação a meio.

Tabela 2. Valores de vendas ordenados por ordem crescente.

$X_{t}$	07	08	08	08	10	11	12	13	13

Para as nove observações da Tabela 2, quatro estão acima de 10 e quatro estão abaixo de 10. A mediana é portanto 10.

Nos casos em que existe um número par de observações, a mediana é igual à média entre os valores das duas observações centrais.

A média e a mediana têm o propósito de fornecer uma medida numérica do centro do conjunto de dados (Makridakis, 1998, p. 29).

Para além de medir o centro do conjunto de dados, é também importante medir a dispersão dos dados, de modo a saber se estão fortemente agrupados ou espalhados por uma vasta gama de valores (Makridakis, 1998, p. 30).

A moda é o número ou conjunto de números, que ocorre mais vezes. Nos dados da Tabela 2, a moda é 8 porque é o número que aparece com maior frequência (DeLurgio, 1998, p. 41).

Desvio Médio

Um desvio ( $x_{t}$ ) é definido pela subtracção da média a um valor observado ( $X_{t}$ ) e é dado por:

$x_{t} = X_{t} - \overline{X}$

Tabela 3. Cálculo dos desvios.

$t$	01	02	03	04	05	06	07	08	09

$X_{t}$	08	08	11	07	08	12	10	13	13

$x_{t}$	0-2	0-2	01	0-3	0-2	02	00	03	03

$\sum_{t = 1}^{11} x_{t} = (- 2) + (- 2) + 1 + (- 3) + (- 2) + 2 + 0 + 3 + 3 = 0$

Desvio médio absoluto

Como a soma dos desvios é sempre igual a zero, é útil desenvolver uma estatística descritiva para estes desvios, que, ou são elevados ao quadrado, ou, ocasionalmente, toma-se o seu valor absoluto.

O desvio médio absoluto é denominado de DMA e é dado por:

$D M A = \frac{\sum_{t = 1}^{n} | X_{t} - \overline{X} |}{n}$

Neste caso:

$D M A = \frac{| 8 - 10 | + | 8 - 10 | + | 11 - 10 | + | 7 - 10 | + | 8 - 10 | + | 12 - 10 | + | 10 - 10 | + | 13 - 10 | + | 13 - 10 |}{9}$

$D M A = \frac{2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 2 + 0 + 3 + 3}{9} = \frac{20}{9} = 2, 22$

Desvio médio quadrado

Por seu lado, o desvio médio quadrado, é designado por DMQ e é dado por:

$D M Q = \frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X})^{2}}{n}$

Neste caso:

$D M Q = \frac{(8 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (11 - 10)^{2} + (7 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (12 - 10)^{2} + (10 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2}}{9}$

$D M Q = \frac{4 + 4 + 1 + 9 + 4 + 4 + 0 + 9 + 9}{9} = \frac{44}{9} = 4, 89$

Variância

Intimamente relacionado com o desvio médio quadrado (DMQ), está a variância. Esta é definida da seguinte maneira:

$S^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X})^{2}}{n - 1}$

Neste caso:

$S^{2} = \frac{(8 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (11 - 10)^{2} + (7 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (12 - 10)^{2} + (10 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2}}{8}$

$S^{2} = \frac{4 + 4 + 1 + 9 + 4 + 4 + 0 + 9 + 9}{8} = \frac{44}{8} = 5, 5$

onde $n - 1$ representa os «graus de liberdade», que podem ser definidos como o número de observações a subtrair pelo número de parâmetros estimados (Makridakis, 1998, p. 31-32).

A variância é menos intuitiva que o DMQ mas possui propriedades matemáticas desejáveis, porque, ao contrário do DMQ não é uma estimativa tendenciosa.

Tanto a variância como o desvio médio absoluto fornecem medidas de dispersão. Medem aproximadamente o desvio médio das observações em relação à sua média. Se as observações estiverem muito dispersas, estarão longe da média (acima e abaixo). Neste caso tanto o desvio médio absoluto como a variância terão um valor elevado. Quando as observações estão próximas entre si, o desvio médio absoluto e a variância terão valores pequenos. Ambos têm a mesma unidade que as observações.

Desvio padrão

O desvio padrão é a raiz quadrada do desvio médio quadrado (DMQ) e é dado por (DeLurgio, 1998, p. 43):

$S = \sqrt{\frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X})^{2}}{n - 1}}$

Neste caso:

$S = \sqrt{\frac{(8 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (11 - 10)^{2} + (7 - 10)^{2} + (8 - 10)^{2} + (12 - 10)^{2} + (10 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2} + (13 - 10)^{2}}{8}}$

$S = \sqrt{\frac{4 + 4 + 1 + 9 + 4 + 4 + 0 + 9 + 9}{8}} = \sqrt{\frac{44}{8}} = \sqrt{5, 5} = 2, 35$

Muitos conjuntos de dados verificam as seguintes regras empíricas (Makridakis, 1998, p. 32):

Aproximadamente dois terços das observações distam até 1 desvio padrão da sua média;
Aproximadamente 95% das observações distam até 2 desvios padrões da sua média.

Estatísticas bivariadas

Existem muitas situações em que é importante efectuar a medição da relação ou associação entre duas ou mais variáveis. É frequente questionar se uma variável pode ser usada para prever outra variável ou se uma variável causa a outra. É mais fácil obter previsões úteis que prova de causalidade. A capacidade de previsão é alcançada quando se consegue provar que os valores de uma variável movem-se em simultâneo com os valores de outra variável (e.g. procura versus publicidade), ou alternativamente, os valores de uma variável movem-se no sentido oposto dos valores de outra variável (e.g. procura versus competição). Na primeira situação, procura e a publicidade, as variáveis estão relacionadas positivamente; o segundo caso, procura e competição, ilustra uma relação negativa ou inversa entre as variáveis. Por fim, existe ainda a possibilidade das variáveis não estarem relacionadas entre si, esta situação é denominada de independência estatística (DeLurgio, 1998, p. 58-59).

Apesar dos termos positivo e negativo serem um atributo de uma relação, não denotam a força ou grau de associação entre as variáveis. Felizmente, existem diversas medidas de associação entre duas ou mais variáveis.

Uma medida útil na associação entre duas variáveis é a covariância. Esta medida por si só não é muito esclarecedora, mas revela-se importante no entendimento de uma segunda medida de associação, a correlação.

Covariância

O nível de associação entre duas variáveis pode ser medido através do seu grau de covariância (e.g. valores elevados de $Y$ com valores elevados de $X$ e valores baixos de $Y$ com valores baixos de $X$ ). A seguinte equação ilustra a fórmula da covariância:

$C O V (X, Y) = \frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X}) (Y_{t} - \overline{Y})}{n - 1}$

onde $\overline{X}$ e $\overline{Y}$ são as médias de $X$ e $Y$ respectivamente e $n$ o número de observações de cada variável (Makridakis, 1998, p. 35).

Assim, a covariância é a média do produto dos desvios de dois números das suas respectivas médias. Infelizmente, como a covariância é um número absoluto que pode variar muito devido à escala dos números usados, não é fácil interpretar o seu significado.

Correlação

Uma medida de associação mais útil é o coeficiente de correlação $r_{X Y}$ . Este coeficiente mede a proporção da covariância entre $X$ e $Y$ para o produto dos seus desvios padrão (esta medida é mais apropriadamente chamada de coeficiente de correlação Pearson). Os valores deste coeficiente variam sempre entre -1 e 1, e fornecem informação acerca da força e direcção da associação entre $X$ e $Y$ . Se a associação for positiva, $r$ é positivo, se for negativa, $r$ é negativo.

Se $r = - 1$ , existe uma relação perfeitamente negativa.
Se $r = 0$ , não existe relação.
Se $r = 1$ , existe uma relação perfeitamente positiva.

O coeficiente de correlação Pearson é então dado por:

$r_{X Y} = \frac{C O V (X, Y)}{S_{X} S_{Y}}$

onde $S_{X} = \sqrt{\frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X})^{2}}{n - 1}}$ e $S_{Y} = \sqrt{\frac{\sum_{t = 1}^{n} (Y_{t} - \overline{Y})^{2}}{n - 1}}$

então:

$r_{X Y} = \frac{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X}) (Y_{t} - \overline{Y})}{\sqrt{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \overline{X})^{2}} \sqrt{\sum_{t = 1}^{n} (Y_{t} - \overline{Y})^{2}}}$

É importante saber que a covariância e o coeficiente de correlação Pearson, são medidas de associação linear entre duas variáveis, portanto não são apropriadas para medir a correlação quando existe uma relação curvilínea entre duas variáveis (Makridakis, 1998, p. 38).

Autocorrelação

A covariância e o coeficiente de correlação são estatísticas que medem a extensão da relação linear entre duas variáveis. Como tal, podem ser utilizadas para identificar relações explicativas. A autocovariância e a autocorrelação são medidas equivalentes que servem o mesmo propósito, mas para uma única série temporal (Makridakis, 1998, p. 38).

A autocorrelação mede a associação entre dois conjuntos de observações de uma série, separados por um certo atraso. Por exemplo, com dados diários, é expectável que a procura por um produto (e.g. cerveja) ou serviço (e.g. electricidade ou chamadas telefónicas) esteja relacionada com a procura no mesmo dia da semana anterior (este sábado contra o sábado da semana passada). De facto, inicialmente, os livros de estatística sugeriam que se representasse graficamente as mesmas observações em papel transparente e que se sobrepusesse os gráficos numa mesa de luz de modo a descriminar correlações desfasadas. Felizmente, hoje em dia, faz-se isto facilmente recorrendo às capacidades gráficas do software. Ainda assim, são necessárias medidas objectivas de correlação ao longo do tempo; a autocovariância e a autocorrelação fornecem essa medidas objectivas.

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Referências:

DELURGIO, Stephen A. - Forecasting principles and applications. Singapura: McGraw-Hill, 1998. ISBN 978-0-07-115998-2
DUNCAN, George T.; GORR, Wilpen L.; SZCZYPULA, Janusz - Forecasting analogous time series In ARMSTRONG, J. Scott, ed.- Principles of forecasting: a handbook for researchers and practitioners [Em linha]. Nova Iorque: Springer, 2001. [Consult. 22 Fev 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://books.google.pt/books?id=XdE4m_xMfL8C&lpg=PP1&hl=en&pg=PP1#v=onepage&q&f=false>. ISBN 978-0-7923-7930-0
EHLERS, Ricardo S. - Análise de séries temporais [Em linha]. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2009. [Consult. 22 Fev. 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://www.icmc.usp.br/~ehlers/stemp/stemp.pdf>.
MAKRIDAKIS, Spyros; WHEELWRIGHT, Steven C.; HYNDMAN, Rob J. - Forecasting: methods and applications. 3ª ed. Nova Iorque: John Wiley & Sons, 1998. ISBN 978-0-471-53233-0
OSBOURNE, Jason W. - Notes on the use of data transformations [Em linha]. North Carolina State University, 2002. [Consult. 17 Mai. 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://pareonline.net/getvn.asp?v=8&n=6>.
SAINT-GERMAIN, Michelle A. - PPA 696 research methods: pre-experimental designs [Em linha]. Long Beach: California State University Long Beach, 2002. [Consult. 22 Fev 2011]. Disponível em WWW:<URL:http://www.csulb.edu/~msaintg/ppa696/696preex.htm#696preex>.
Scatter plot [Em linha]. Orlando, FL: Netmba, [2010]. [Consult. 21 Mar. 2011]. Disponível WWW:<URL:http://www.netmba.com/statistics/plot/scatter/>.

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Códigos

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citação:(Galvão, 1981, p. 5)

referência:

REFERENCIA

pagina c codigos de imagens: http://pt.wikibooks.org/wiki/Log%C3%ADstica/Movimenta%C3%A7%C3%A3o_de_materiais/Equipamento/Equipamento_de_armazenagem/Armazenagem_de_unidades_de_carga/Estantes_para_armazenagem_de_unidades_de_carga/Estante_cantilever

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Figura 1. Estante cantilever.

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