Tábuas Atuariais/Tábuas de comutação

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Quando se aplica uma determinada taxa de juros sobre os dados de uma tábua de mortalidade tem-se uma Tábua de Comutação. As tábuas de comutação foram um grande marco na história dos seguros de renda e contra a morte, pois simplificaram o cálculo de diversas operações relacionadas a estes tipos de seguros, na época em que estes eram atribuições humanas e não dos computadores.

Esse recurso foi desenvolvido com o emprego de símbolos para simplificar as expressões utilizadas no cálculo de anuidades em espaços de tempo diferentes. A maioria dos autores em português atribuem a Johannes Nikolaus Tetens a criação deste recursos em 1785 na obra Introduction to the Calculation of Life Annuities. Mas há também quem atribua a William Morgan, William Dale ou George Barrett (1752-1821) esta invenção. A seguir, as funções que são utilizadas neste wikilivro seguindo o sistema de comutação usualmente utilizado:

Principais funções
Sobrevivência, ou 1ª série
  • : Comutação de primeira ordem
  • : Comutação de segunda ordem
  • : Comutação de terceira ordem
Morte, ou 2ª série
  • : Comutação de primeira ordem
  • : Comutação de segunda ordem
  • : Comutação de terceira ordem

Para:

, onde,

: fator de desconto;

: taxa de juros;

: idade;

: última idade atingível;

: indivíduos no início da idade ;

: indivíduos que faleceram na idade .

Observe a simplificação trazida pela utilização das comutações:

Embora os símbolos de comutação só tenham sido inventados na segunda metade do século XVIII, a “descapitalização” dos vivos e mortos em cada idade, já era usada anteriormente. O que nos ajuda a comprovar isso é que os símbolos utilizados nas comutações, segundo a simbologia atribuída a Barret, são as iniciais dos termos - na língua inglesa, obviamente - que representam a utilização mais constante nos cálculos de prêmios e valores garantidos em seguros de renda e contra morte. Assim, temos a letra D representando o Denominator, utilizado nos cálculos de renda e seguros contra morte, na parte “de baixo” da divisão, predominantemente. A letra N, “a parte de cima” vêm de Numerator. E a letra S vem de Sum, por ser um somatório de N.

As funções de morte, são as letras imediatamente anteriores na ordem alfabética: C, M e R, também em maiúsculo. Pela ordem natural da vida, haveria "mais lógica" na utilização da letras posteriores (E, O e T), mas estas poderiam causar alguma confusão, já que o e, tanto maiúsculo quanto minúsculo, e o T, já representam-se outras funções usadas na matemática atuarial.

Comutações de Invalidez[editar | editar código-fonte]

As comutações também passaram a ser utilizadas nos seguros envolvendo invalidez, criando tábuas de serviço que facilitam e viabilizaram os cálculos de prêmio e reservas em muitos seguros.