Red Book - Vestibular/Matemática/PA

Introdução

   Na Alemanha, há algum tempo atrás (por volta de 1785), um professor desafiou os alunos, que tinham cerca de dez anos, a calcularem a soma de todos os números de 1 à 100. Ou seja, as crianças deveriam somar 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.
   Você sabe dizer qual é o resultado? Como calcular isto?
   Você poderia dizer: "Somando tudo, oras!". Mas isto demoraria muito...
   Mas. por incrível que pareça, o jovem Gauss, em poucos minutos, não só disse ao professor o resultado correto como ainda lhe mostrou uma maneira bem mais inteligente de efetuar este cálculo .
   Neste capítulo, vamos ver como ele fez isto e aprender a expandir a ideia que ele teve.

O que é uma progressão aritmética?

   Quando dizemos "progressão", na verdade você pode pensar em "sequência". Mais especificamente, em uma sequência numérica, ou seja, uma coleção de números em que é possível dizer qual vem depois do outro.
   Por exemplo, $3,5,7,9,1,0,10$ é uma sequência com 7 termos. Dizemos que o primeiro termo é o valor 3, o segundo termo é 5 e assim sucessivamente.
   Mas, geralmente, você verá sequências que possuem alguma propriedade, por exemplo, a sequência $2,10,12,16,17,18$ é uma sequência que tem a seguinte propriedade: "todos os termos começam com a letra d ". Qual seria o próximo termo (depois do 18)?
   De forma semelhante, uma progressão aritmética (conhecida simplesmente por PA) é uma sequência com a seguinte propriedade:

Cada termo é igual ao anterior somado a uma constante

—

esta constante é chamada de razão.

Ou seja, uma PA é uma sequência na qual o primeiro termo é um valor qualquer, o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é igual ao segundo mais a razão, o quarto é igual ao terceiro mais a razão, e assim sucessivamente.

Exemplos

   A sequência $2,5,8,11,...$ é uma PA cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3. Note que 5 é igual a 2 mais 3, assim como 8 é igual a 5 mais 3. Você sabe dizer qual o próximo termo? (o que vem após o 11 deve ser igual a 11 mais a razão).

   A sequência $10,5,0,-5,-10,...$ também é uma PA. O primeiro termo é 10 e a razão é $-5$ (sim, a razão pode ser negativa).

Termo geral

   Dada um termo, se soubermos a razão, é fácil saber o próximo, basta somar a razão. Mas se quisermos saber um termo qualquer? Por exemplo, você saberia dizer qual é o vigésimo termo da PA apresentada no primeiro exemplo?

   Na verdade isto é muito fácil! Vamos chamar de $a_{1}$ o primeiro termo, $a_{2}$ o segundo e assim sucessivamente, chamando um termo genérico, digamos, o n-ésimo termo, de $a_{n}$. Além disto, vamos chamar a razão de $r$. Como cada termo é igual ao anterior mais a razão, temos que

$a_{2}=a_{1}+r$ (o segundo é igual ao primeiro mais a razão)

da mesma forma,

$a_{3}=a_{2}+r$, mas, trocando $a_{2}$ por $a_{1}$ mais a razão, obtemos $a_{3}=(a_{1}+r)+r=a_{1}+2r$.

De forma semelhante, temos $a_{4}=a_{3}+r=(a_{1}+2r)+r=a_{1}+3r$

ou seja, para chegar no $a_{4}$ somamos três vezes o $r$.

De uma forma mais geral, para chegar no n-ésimo termo, somamos $n-1$ vezes a razão, ou seja, o termo geral é dado pela fórmula

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

Exemplos

   1.  A PA apresentada no primeiro exemplo tem $a_{1}=2$ e $r=3$, logo, o vigésimo termo é igual a $a_{20}=a_{1}+(20-1)r=2+19*3=2+57=59$

   2. Em uma PA cujo primeiro termo é igual à 6 e o segundo é igual à 10, então qual é a razão?
   Como a razão é o valor que somamos a um termo para chegar ao próximo, temos que neste caso a razão vale 4, pois é necessário somar 4 ao primeiro termo (o 6) para chegar no segundo (o 10).

   3. Dada uma PA em que o terceiro termo é igual à 10 e a razão é igual à -4, quanto vale o primeiro termo?
     Para resolver este problema, basta usar a fórmula do termo geral:
     $a_{3}=a_{1}+(3-1)r=a_{1}+2*(-4)=a_{1}-8$
     assim,
     $a_{1}=a_{3}+8=10+8=18$
     portanto, o primeiro termo é igual a 18.