Red Book - Vestibular/Matemática/PA

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Introdução[editar | editar código-fonte]

   Na Alemanha, há algum tempo atrás (por volta de 1785), um professor desafiou os alunos, que tinham cerca de dez anos, a calcularem a soma de todos os números de 1 à 100. Ou seja, as crianças deveriam somar 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.
   Você sabe dizer qual é o resultado? Como calcular isto?
   Você poderia dizer: "Somando tudo, oras!". Mas isto demoraria muito...
   Mas. por incrível que pareça, o jovem Gauss, em poucos minutos, não só disse ao professor o resultado correto como ainda lhe mostrou uma maneira bem mais inteligente de efetuar este cálculo[nota 1] .
   Neste capítulo, vamos ver como ele fez isto e aprender a expandir a ideia que ele teve.

O que é uma progressão aritmética?[editar | editar código-fonte]

   Quando dizemos "progressão", na verdade você pode pensar em "sequência". Mais especificamente, em uma sequência numérica, ou seja, uma coleção de números em que é possível dizer qual vem depois do outro.
   Por exemplo,  é uma sequência com 7 termos. Dizemos que o primeiro termo é o valor 3, o segundo termo é 5 e assim sucessivamente.
   Mas, geralmente, você verá sequências que possuem alguma propriedade, por exemplo, a sequência  é uma sequência que tem a seguinte propriedade: "todos os termos começam com a letra d ". Qual seria o próximo termo (depois do 18)?
   De forma semelhante, uma progressão aritmética (conhecida simplesmente por PA) é uma sequência com a seguinte propriedade:


Cquote1.png Cada termo é igual ao anterior somado a uma constante Cquote2.png

esta constante é chamada de razão.

Ou seja, uma PA é uma sequência na qual o primeiro termo é um valor qualquer, o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é igual ao segundo mais a razão, o quarto é igual ao terceiro mais a razão, e assim sucessivamente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

   A sequência  é uma PA cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3. Note que 5 é igual a 2 mais 3, assim como 8 é igual a 5 mais 3. Você sabe dizer qual o próximo termo? (o que vem após o 11 deve ser igual a 11 mais a razão).
   A sequência  também é uma PA. O primeiro termo é 10 e a razão é  (sim, a razão pode ser negativa).

Termo geral[editar | editar código-fonte]

   Dada um termo, se soubermos a razão, é fácil saber o próximo, basta somar a razão. Mas se quisermos saber um termo qualquer? Por exemplo, você saberia dizer qual é o vigésimo termo da PA apresentada no primeiro exemplo?
   Na verdade isto é muito fácil! Vamos chamar de  o primeiro termo,  o segundo e assim sucessivamente, chamando um termo genérico, digamos, o n-ésimo termo, de . Além disto, vamos chamar a razão de . Como cada termo é igual ao anterior mais a razão, temos que

(o segundo é igual ao primeiro mais a razão)

da mesma forma,

, mas, trocando por mais a razão, obtemos .

De forma semelhante, temos

ou seja, para chegar no somamos três vezes o .

De uma forma mais geral, para chegar no n-ésimo termo, somamos vezes a razão, ou seja, o termo geral é dado pela fórmula

Exemplos[editar | editar código-fonte]

   1.  A PA apresentada no primeiro exemplo tem  e , logo, o vigésimo termo é igual a 
   2. Em uma PA cujo primeiro termo é igual à 6 e o segundo é igual à 10, então qual é a razão?
   Como a razão é o valor que somamos a um termo para chegar ao próximo, temos que neste caso a razão vale 4, pois é necessário somar 4 ao primeiro termo (o 6) para chegar no segundo (o 10).
   3. Dada uma PA em que o terceiro termo é igual à 10 e a razão é igual à -4, quanto vale o primeiro termo?
     Para resolver este problema, basta usar a fórmula do termo geral:
     
     assim,
     
     portanto, o primeiro termo é igual a 18.

Referências

  1. http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php