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Red Book - Vestibular/Matemática/Função do segundo grau

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Uma horta sendo cercada com um arame de 20 metros.

Seu José quer construir um cercadinho para a sua horta, que terá formato triangular. Para isto, ele dispõe de um arame com 20 metros de comprimento.

Mas, ele percebeu que se fizesse um cercadinho retangular com base igual a 3 metros e altura igual a 7 metros (como na figura), a área do cercadinho seria igual à 21 metros quadrados (lembre-se, a área de um retângulo é igual a base vezes a altura), por outro lado, se ele fizesse a base igual a 2 metros e a altura igual à 8 metros, então a área seria 16 metros quadrados. Assim, começou a se perguntar qual seria a área máxima que ele poderia obter com aqueles 20 metros de arame, pois, quanto maior a área, mais ele conseguiria plantar.

Então, qual será a esta área máxima?


Uma função do segundo grau, também conhecida por função quadrática, é uma função da forma

na qual, os valores e são chamados de coeficientes. O valor deve ser diferente de zero. Normalmente, definimos o domínio e o contradomínio como sendo o conjunto dos números reais.

Exemplo 1

A função é uma função do segundo grau (ela é da forma , com e ).

A seguir, há uma tabela com valores de x e valores que a função assume em cada um desses valores de x, além do gráfico. (Tente procurar no gráfico os valores apresentados na tabela).

Este formato do gráfico da função é chamado de parábola.

Na verdade isto não é exclusividade da função . O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. Mas, como veremos a seguir, eles podem ser ligeiramente diferentes...

Gráfico da função f(x) = x^2
x f(x)
0 0
0.5 0.25
-0.5 -0.25
-1 1
1 1
-2 4
2 4
3 9
-3 9
11 121
Exemplo 2

A função também é de segundo grau.

Note que a única diferença dela para a anterior é o sinal de menos. Isto implica que os valores que esta função assume são os mesmos que os que a anterior assume, mas com o sinal trocado. Por exemplo, para , a anterior valia 9, mas esta vale -9. Assim, o gráfico desta função é o inverso da outra (faça vc mesmo uma tabela como na anterior e verifique).


Gráfico da função f(x) = -x^2.