Otimização/Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos

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Dada a função $f(\mathbf {x} )=f({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})\!$, a condição necessária para que um determinado ponto $({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*}...,x_{n}^{*})\!$ seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero. No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

Passo 1

Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor nX1 $(\mathbf {x} )$.

Passo 2

Igualar cada uma das "n" funções do passo 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis ${\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},{\color {RubineRed}x_{3}},...,x_{n}$. Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de $({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})$. Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de $\mathbf {x^{*}} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}x_{1}}^{*}\\{\color {OliveGreen}x_{2}}\\{\color {RubineRed}x_{3}}^{*}\\\vdots \\x_{n}^{*}\end{bmatrix}}$. Reservar este ponto crítico.

Passo 3

A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis $({\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},...,x_{n})\!$.

Passo 4

Substitua as variáveis $({\color {Red}x_{1}},{\color {OliveGreen}x_{2}},{\color {RubineRed}x_{3}},...,x_{n})$, presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor $\mathbf {x^{*}}$. A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável ${\color {OliveGreen}x_{2}}$, por sua vez derivada em relação à variável ${\color {Red}x_{1}}$, calculada para o vetor $(\mathbf {x^{*}} )$, será representado por ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )$ e significa um número.

Passo 5

A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.

• $\left|H_{1}\right\vert =\left|{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\right\vert$,

• $\left|H_{2}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}$

• $\left|H_{3}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\end{vmatrix}}$

• ...

• $\left|H_{n}\right\vert ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {Red}x_{1}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\color {RubineRed}x_{3}}\,\partial x_{n}}}(\mathbf {x^{*}} )\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {Red}x_{1}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {OliveGreen}x_{2}}}}(\mathbf {x^{*}} )&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial {\color {RubineRed}x_{3}}}}(\mathbf {x^{*}} )&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(\mathbf {x^{*}} )\end{vmatrix}}=\left|H_{n}\right\vert$=determinante da matriz hessiana calculada no item 4.

Passo 6

Verificar o sinal dos menores principais do item 5:

Se e somente se...	...o que é a mesma coisa que dizer que...	...podemos concluir que...
$\left|H_{1}\right\vert >0,\left|H_{2}\right\vert >0,\left|H_{3}\right\vert >0,....$	A matriz H calculada no item 4 é positiva definida	ponto crítico $({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})$, calculado no item 2, é ponto de mínimo.
$\left|H_{1}\right\vert <0,\left|H_{2}\right\vert <0,\left|H_{3}\right\vert <0,....$	A matriz H calculada no item 4 é negativa definida	ponto crítico $({\color {Red}x_{1}}^{*},{\color {OliveGreen}x_{2}}^{*},{\color {RubineRed}x_{3}}^{*},...,x_{n}^{*})$, calculado no item 2, é ponto de máximo.